Посчитать комбинации онлайн — как посчитать число комбинаций

Разберёмся, как посчитать комбинации для любых задач: из скольких способов можно выбрать элементы без учёта порядка, какие формулы использовать и как не ошибиться. Материал подойдёт школьникам, студентам, аналитикам и всем, кто решает комбинаторные задачи.

Обновлено:

Содержание статьи

Онлайн‑калькулятор комбинаций без/с повторениями и размещений

Тип задачи
Выберите, что нужно посчитать: комбинации (порядок не важен) или размещения/перестановки (порядок важен).
Исходные данные
Например, 52 карты в колоде или 10 учеников в классе.
Например, 5 карт в руке или 3 ученика в команде. Для перестановок k не используется.
Большие числа будут автоматически выводиться в научной нотации, если они слишком длинные.
Поле для фиксации времени расчёта (полезно для отчётов и конспектов).
Детализация решения
Отметьте, если хотите увидеть, как именно посчитан результат.

Что значит «посчитать комбинации»

Комбинации — это количество способов выбрать несколько элементов из набора, когда порядок не важен.

Пример: из 5 человек выбрать 2 для дежурства. Пара «А и Б» и «Б и А» считается одним вариантом.

Задача: по заданным числам \(n\) (сколько всего элементов) и \(k\) (сколько выбираем) посчитать число комбинаций — то есть, сколько различных наборов можно получить.

Формула комбинаций без повторений

Классическая задача: есть \(n\) различных элементов, нужно выбрать \(k\), не возвращая выбранные элементы в набор и не учитывая порядок.

Формула:

\[ C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

Где:

Пример расчёта

Задача. Сколькими способами можно выбрать 3 ученика из 10?

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]

Сокращаем \(10!\) и \(7!\):

\[ 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \Rightarrow \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \]

Тогда:

\[ C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = \frac{720}{6} = 120 \]

Ответ: 120 способов.

Сокращённая форма для ручного подсчёта

Чтобы не считать огромные факториалы, удобно использовать сокращённую запись:

\[ C(n, k) = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} \]

Берём \(k\) множителей сверху и делим на \(k!\).

Пример

Посчитать \(C(20, 2)\):

\[ C(20, 2) = \frac{20 \cdot 19}{2!} = \frac{380}{2} = 190 \]

Посчитать \(C(15, 4)\):

\[ C(15, 4) = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4!} = \frac{32760}{24} = 1365 \]

Комбинации с повторениями

Иногда выбирать можно с возвращением: один и тот же элемент может входить в набор несколько раз, порядок всё ещё не важен.

Тогда используется другая формула:

\[ C\_{\text{повт}}(n, k) = C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n - 1)!} \]

Где:

Пример

Есть 4 вида пирожных, хотим набрать 5 штук (виды могут повторяться). Сколько разных наборов?

\[ C\_{\text{повт}}(4, 5) = C(4 + 5 - 1, 5) = C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56 \]

Алгоритм: как посчитать комбинации шаг за шагом

1. Определите тип задачи

  1. Порядок важен?
    • Да → это размещения/перестановки, а не комбинации.
    • Нет → комбинации.
  2. Есть ли повторы (можно ли выбирать один элемент много раз)?
    • Нет → комбинации без повторений.
    • Да → комбинации с повторениями.

2. Подберите формулу

3. Подставьте числа и упростите

Как пользоваться онлайн‑калькулятором комбинаций

Обычно достаточно выполнить 3 шага:

  1. Ввести \(n\) — общее количество элементов (например, 52 карты в колоде).
  2. Ввести \(k\) — сколько элементов в наборе (например, 5 карт в руке).
  3. Выбрать тип:
    • «Без повторений» — стандартный вариант;
    • «С повторениями» — если объект может встречаться несколько раз;
    • при необходимости — режим «вероятность» для задач теории вероятностей.

Калькулятор автоматически посчитает:

Связь комбинаций с размещениями и перестановками

Важно не путать разные виды комбинаторных объектов:

Связь между размещениями и комбинациями:

\[ A(n, k) = C(n, k) \cdot k! \]

То есть каждая комбинация порождает \(k!\) разных упорядоченных вариантов.

Типичные ошибки при расчёте комбинаций

  1. Путают порядок.
    Если в задаче важна последовательность (первое место, второе место и т.д.), нужно считать размещения, а не комбинации.

  2. Берут \(k > n\) для случая без повторений.
    Тогда \(C(n, k) = 0\): нельзя выбрать больше элементов, чем есть, если повторы запрещены.

  3. Не сокращают факториалы.
    Вручную считать, например, \(20!\) — лишняя работа. Всегда сокращайте числитель и знаменатель.

  4. Забывают про комбинации с повторениями.
    В задачах выбора наборов товаров, конфет, билетов с возможным повторением часто нужна именно формула с повторениями.

Примеры практических задач для подсчёта комбинаций

Как быстро проверить результат

  1. Логика:

    • если \(k = 0\) или \(k = n\), всегда должно быть \(C(n, k) = 1\);
    • \(C(n, 1) = n\);
    • \(C(n, k) = C(n, n - k)\) (симметрия).

  2. При небольших числах выпишите все варианты и посчитайте, совпадает ли число.

  3. Сравнение с онлайн‑калькулятором:
    введите те же \(n\) и \(k\) и проверьте, совпадает ли результат.

Вывод

Чтобы правильно посчитать комбинации, достаточно:

Зная эти шаги, вы сможете уверенно решать задачи комбинаторики и вероятностей в учёбе, работе и реальной жизни.

Часто задаваемые вопросы

Как посчитать комбинации без повторений из n по k?

Число комбинаций без повторений из n по k считается по формуле C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Важно, чтобы 0 ≤ k ≤ n и n было целым числом.

Какая формула для комбинаций с повторениями?

Комбинации с повторениями считаются по формуле C(n + k − 1, k) = (n + k − 1)! / (k! · (n − 1)!), где n — количество типов элементов, k — сколько элементов выбираем.

Как посчитать комбинации на калькуляторе, если факториалы большие?

Используйте онлайн‑калькулятор комбинаций или инженерный калькулятор с функциями nCr и факториала. Либо вычисляйте по сокращённой дроби, сокращая общий множитель в числителе и знаменателе.

Что делать, если нужно посчитать комбинации, когда порядок важен?

Если порядок важен, считаются не комбинации, а размещения или перестановки. Для размещений без повторений используется формула A(n, k) = n! / (n − k)!.

Как проверить, правильно ли я посчитал число комбинаций?

Проверьте, что k не больше n, подставьте числа дважды и сократите дробь. Для малых n и k можно просто выписать все варианты и посчитать их количество.

В каких задачах нужно посчитать комбинации?

Комбинации нужны в задачах по вероятности, при выборе команды из группы людей, формировании наборов товаров, кодов, выборе лотерейных билетов и при анализе вариантов в исследованиях.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.