Как посчитать двоичные числа: перевод, сложение и вычитание

Любой текст, фото или видео на экране компьютера в конечном счёте хранится как набор нулей и единиц. Чтобы посчитать двоичные числа – будь то перевод из привычной десятичной системы или арифметические операции – достаточно знать несколько правил, которые работают в любой позиционной системе.

Что такое двоичная система счисления

Двоичная, или бинарная, система – позиционная. Каждая цифра (бит) имеет вес, зависящий от места в числе. Крайний правый разряд равен 2^0 = 1, следующий – 2^1 = 2, затем 4, 8, 16 и так далее. Комбинация нулей и единиц позволяет записать любое число, а электроника интерпретирует эти символы как низкое и высокое напряжение practicum.yandex.ru.

Как перевести десятичное число в двоичное

Самый надёжный способ – последовательное деление на 2. Записывайте остаток от каждого деления (0 или 1), пока частное не станет равно нулю. После этого остатки переписывают в обратном порядке – от последнего к первому.

Пример: перевод числа 45

Читаем остатки снизу вверх: 45 = 101101.

Как перевести двоичное число в десятичное

Здесь каждый бит умножается на 2 в степени, равной его позиции, считая справа налево от нуля. Результаты складываются.

Пример: перевод числа 110101

1 · 2^5 + 1 · 2^4 + 0 · 2^3 + 1 · 2^2 + 0 · 2^1 + 1 · 2^0
= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

Калькулятор выше позволяет мгновенно переводить числа между системами счисления и проверять ручные вычисления.

Как посчитать двоичные числа: сложение

Сложение выполняется поразрядно справа налево. Достаточно помнить четыре правила:

Если в разряде получается 1 + 1, записывается 0, а 1 переносится влево. Если перенос возникает в самом старшем разряде, он дописывается слева.

Пример: 1011 + 1101

  1011
+ 1101
------
 11000

• Младший разряд: 1 + 1 = 0, перенос 1.
• Следующий: 1 + 0 + 1 (перенос) = 0, перенос 1.
• Следующий: 0 + 1 + 1 (перенос) = 0, перенос 1.
• Старший: 1 + 1 + 1 (перенос) = 1, перенос 1.
• Дописываем последний перенос: итого 11000 (24 в десятичной).

Вычитание двоичных чисел

Вычитание идёт столбиком справа налево. Если сверху 0, а снизу 1, происходит заём из старшего разряда. Заём превращает 0 в 10 (то есть 2 в десятичной системе), после чего выполняется обычное вычитание.

Пример: 1000 − 0111

  1000
- 0111
------
  0001

• Младший разряд: 0 − 1, занимаем. Соседний разряд тоже 0, поэтому заём идёт дальше до единицы. После заимов: 10 − 1 = 1.
• В промежуточных разрядах после заёма остаётся 1 − 1 = 0.
• Старший разряд после передачи заёма обнуляется.

Результат: 0001 (1 в десятичной).

Умножение двоичных чисел

Умножение проще десятичного, потому что множитель содержит только 0 или 1. Каждый раз при встрече 1 записывается множимое со сдвигом на соответствующее число позиций. Затем промежуточные результаты складываются.

Пример: 101 · 11

    101
  ·  11
  -----
    101   (101 · 1)
+ 1010    (101 · 1, сдвинуто на 1 разряд влево)
  -----
  1111

101 (5) · 11 (3) = 1111 (15).

Как определить длину двоичного числа без перевода?

Если число N удовлетворяет условию 2^(k−1) ≤ N < 2^k, его двоичная запись содержит ровно k цифр. Например, 125 лежит между 64 (2^6) и 128 (2^7), значит ему нужно 7 бит: 1111101.

Для степеней двойки действует простое правило: число 2^k записывается как 1 и k нулей. Соответственно, число 2^k − 1 состоит из k единиц. Например, 2^4 − 1 = 15, что в двоичном виде равно 1111.

Лайфхаки для быстрого подсчёта

• Чётность определяется по последнему биту: 0 – чётное, 1 – нечётное.
• Умножение на 2 – приписать 0 в конец (сдвиг влево). Например, 111 (7) → 1110 (14).
• Деление на 2 – убрать последний 0, если число чётное. Например, 10100 (20) → 1010 (10).
• Число вида 2^k – это 1 и k нулей. Например, 2^5 = 100000.
• Число вида 2^k − 1 – k единиц подряд. Например, 31 = 11111.

Где применяется бинарная арифметика

Двоичные вычисления лежат в основе работы процессоров, оперативной памяти и сетевых протоколов. Программисты используют знания бинарной системы для побитовых операций, настройки масок подсетей, компрессии данных и отладки ошибок переполнения nickmirosh.com. В быту двоичная логика встречается в штрих-кодах, системах шифрования и при обучении нейросетей обработке звука.

Проверьте вычисления на практике с помощью калькулятора выше или считайте вручную – это помогает быстрее запомнить закономерности.