Посчитать двоичную систему онлайн: перевод и расчёт

Что такое двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система с основанием 2, в которой используются только две цифры: 0 и 1. Каждая позиция цифры представляет степень двойки, увеличивающуюся справа налево. Это фундаментальная система для компьютерных технологий, так как электронные схемы легко различают два состояния: наличие или отсутствие электрического сигнала.

В отличие от десятичной системы (основание 10), где позиции соответствуют степеням десяти (единицы, десятки, сотни), в двоичной каждая позиция — это степень двойки: 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16 и так далее. Число 1101₂ означает: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1.

Система активно применяется в программировании, цифровой электронике, криптографии, теории информации. Понимание двоичной арифметики необходимо для изучения архитектуры компьютеров, сетевых технологий (например, IP-адресов и масок подсети), работы с битовыми операциями в коде.

Как переводить из десятичной системы в двоичную

Метод деления на 2

Классический алгоритм перевода целых положительных чисел:

1. Разделите исходное число на 2
2. Запишите остаток от деления (0 или 1)
3. Возьмите целую часть результата деления
4. Повторяйте шаги 1-3, пока результат не станет равным 0
5. Запишите все остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример: перевести 25₁₀ в двоичную систему

25 ÷ 2 = 12, остаток 1
12 ÷ 2 = 6,  остаток 0
6  ÷ 2 = 3,  остаток 0
3  ÷ 2 = 1,  остаток 1
1  ÷ 2 = 0,  остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 11001₂

Проверка: 1×16 + 1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1 = 16+8+1 = 25 ✓

Метод вычитания степеней двойки

Альтернативный подход для быстрого перевода:

1. Найдите максимальную степень двойки, не превышающую число
2. Вычтите её и поставьте 1 в соответствующую позицию
3. Повторяйте для остатка
4. Заполните пропущенные позиции нулями

Пример: 50₁₀

• 50 ≥ 32 (2⁵): 50−32=18, пишем 1 на 6-й позиции справа
• 18 ≥ 16 (2⁴): 18−16=2, пишем 1 на 5-й позиции
• 2 = 2 (2¹): 2−2=0, пишем 1 на 2-й позиции

Результат: 110010₂

Как переводить из двоичной системы в десятичную

Метод основан на определении позиционной системы:

1. Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с 0
2. Умножьте каждую цифру на 2 в степени её позиции
3. Сложите все произведения

Формула: N₁₀ = aₙ×2ⁿ + aₙ₋₁×2ⁿ⁻¹ + … + a₁×2¹ + a₀×2⁰

Пример: 10110₂

Позиция: 4  3  2  1  0
Цифра:    1  0  1  1  0

1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ =
1×16 + 0×8  + 1×4  + 1×2  + 0×1  =
16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Для упрощения запомните степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

Арифметические операции в двоичной системе

Сложение

Правила двоичного сложения:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (записываем 0, переносим 1 в следующий разряд)
• 1 + 1 + 1 = 11 (при переносе: записываем 1, переносим 1)

Пример: 1011₂ + 110₂

   1011  (11₁₀)
+   110  (6₁₀)
-------
  10001  (17₁₀)

Столбик справа налево: 1+0=1, 1+1=10 (пишем 0, переносим 1), 0+1+1=10, 1+0=1.

Вычитание

Правила двоичного вычитания:

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (с займом 1 из старшего разряда)

Пример: 1101₂ − 101₂

  1101  (13₁₀)
-  101  (5₁₀)
------
  1000  (8₁₀)

Умножение

Умножение аналогично десятичному, но проще:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Пример: 101₂ × 11₂

     101  (5₁₀)
   ×  11  (3₁₀)
   ------
     101
   101
   ------
   1111  (15₁₀)

Дробные числа в двоичной системе

Для перевода дробной части из десятичной в двоичную:

1. Умножайте дробную часть на 2
2. Целая часть результата (0 или 1) — следующая двоичная цифра
3. Повторяйте с дробной частью результата
4. Остановитесь при достижении нужной точности или когда дробная часть станет 0

Пример: 0,625₁₀

0,625 × 2 = 1,25  → цифра 1, остаток 0,25
0,25  × 2 = 0,5   → цифра 0, остаток 0,5
0,5   × 2 = 1,0   → цифра 1, остаток 0

Результат: 0,101₂

Проверка: 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³ = 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625 ✓

Обратный перевод (двоичная → десятичная): 0,1011₂ = 1×0,5 + 0×0,25 + 1×0,125 + 1×0,0625 = 0,6875₁₀

Практические примеры и задачи

Задача 1: Сколько будет 100₂ + 11₂?

Решение: 4₁₀ + 3₁₀ = 7₁₀ = 111₂

Или столбиком:

  100
+  11
-----
  111

Задача 2: Переведите 100₁₀ в двоичную систему

Решение методом деления:

100 ÷ 2 = 50, остаток 0
50  ÷ 2 = 25, остаток 0
25  ÷ 2 = 12, остаток 1
12  ÷ 2 = 6,  остаток 0
6   ÷ 2 = 3,  остаток 0
3   ÷ 2 = 1,  остаток 1
1   ÷ 2 = 0,  остаток 1

Ответ: 1100100₂

Задача 3: IP-адрес 192.168.1.1 в двоичном виде

Решение:

• 192₁₀ = 11000000₂
• 168₁₀ = 10101000₂
• 1₁₀ = 00000001₂
• 1₁₀ = 00000001₂

Полный адрес: 11000000.10101000.00000001.00000001

Применение двоичной системы

В компьютерных технологиях

Процессоры работают с двоичными числами на аппаратном уровне. Байт (8 бит) может принимать значения от 00000000₂ до 11111111₂ (0–255₁₀). Оперативная память, жёсткие диски измеряются в единицах, кратных степеням двойки: 1 Кб = 1024 байта = 2¹⁰ байт.

Битовые операции (И, ИЛИ, исключающее ИЛИ, сдвиги) применяются для эффективной обработки флагов, масок, оптимизации вычислений. Например, проверка чётности: if (число & 1) == 0 — число чётное.

В сетевых технологиях

IP-адреса и маски подсети представляются в двоичном виде для расчёта сетевых параметров. Маска 255.255.255.0 = 11111111.11111111.11111111.00000000 определяет границы подсети.

CIDR-нотация /24 означает, что первые 24 бита — адрес сети (2²⁴ = 16777216 возможных сетей с таким префиксом).

В программировании

Шестнадцатеричная система — компактное представление двоичных чисел (4 бита = 1 hex-цифра). Цвет #FF5733 в RGB: FF₁₆ = 11111111₂ = 255₁₀ (красный), 57₁₆ = 01010111₂ = 87₁₀ (зелёный), 33₁₆ = 00110011₂ = 51₁₀ (синий).

Права доступа в Unix: rwxr-xr– = 111101100₂ = 754₈ (восьмеричная система, где каждая цифра — 3 бита).

Таблица степеней двойки и перевода

Быстрый перевод малых чисел:

Частые ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Забывание нуля в старших разрядах при переводе

Неправильно: 5₁₀ = 101₂ записать как 00000101₂ в 8-битном представлении — различные контексты требуют фиксированной разрядности.

Ошибка 2: Неправильный порядок остатков

При делении остатки нужно читать снизу вверх (от последнего к первому), а не сверху вниз.

Ошибка 3: Игнорирование переноса при сложении

1 + 1 = 10, а не 2. Перенос обязателен, иначе результат будет неверным.

Ошибка 4: Путаница с отрицательными числами

Компьютеры используют дополнительный код (two’s complement) для отрицательных чисел, а не просто знак минус. −5₁₀ в 8 битах = 11111011₂, а не 10000101₂.

Совет: Всегда проверяйте результат обратным переводом. Используйте онлайн-калькулятор для сложных вычислений и обучения.

Дополнительные системы счисления

Восьмеричная (основание 8, цифры 0–7) и шестнадцатеричная (основание 16, цифры 0–9, A–F) используются как сокращённая запись двоичных чисел:

• 1 восьмеричная цифра = 3 двоичных бита: 7₈ = 111₂
• 1 шестнадцатеричная цифра = 4 двоичных бита: F₁₆ = 1111₂

Пример: 101110112 = 273₈ = BB₁₆

Разбиение: 10 111 011 → 2 7 3 (по 3 бита для восьмеричной) Разбиение: 1011 1011 → B B (по 4 бита для шестнадцатеричной)

Эти системы упрощают чтение и запись длинных двоичных последовательностей, часто используются в ассемблере, отладке, дампах памяти.

Заключение

Двоичная система — основа цифровой обработки информации. Умение переводить числа между системами счисления, выполнять арифметические операции критично для понимания работы компьютеров, написания эффективного кода, настройки сетевого оборудования. Онлайн-калькулятор ускоряет расчёты, избавляя от рутинных ошибок, и служит инструментом проверки при обучении.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.