Погрешность 10 измерений

При обработке серии из 10 замеров одного и того же значения результат всегда отличается от опыта к опыту. Чтобы свести разброс к одному числу, рассчитывают среднее арифметическое и доверительный интервал – это и есть погрешность 10 измерений.

Что входит в погрешность серии измерений

Полная погрешность складывается из двух независимых составляющих:

• Случайная – вызвана непредсказуемыми факторами (дрожание руки, шум, флуктуации). Уменьшается с ростом числа замеров как 1/√n.
• Систематическая (приборная) – определяется классом точности прибора и не уменьшается при повторных измерениях.

Итоговая абсолютная погрешность считается по формуле:

Δx = √(Δx²сл + Δx²пр)

Как посчитать погрешность по 10 измерениям: алгоритм

1. Записать все 10 результатов x₁, x₂, …, x₁₀.
2. Найти среднее арифметическое: x̄ = (x₁ + x₂ + … + x₁₀) / 10.
3. Вычислить отклонения каждого замера от среднего: Δxᵢ = xᵢ − x̄.
4. Найти СКО среднего: Sx̄ = √(Σ(Δxᵢ)² / (n(n−1))), где n = 10.
5. Умножить Sx̄ на коэффициент Стьюдента t(P, n−1) – получится случайная погрешность.
6. Прибавить квадратично приборную погрешность.
7. Округлить и записать ответ в форме x̄ ± Δx.

Калькулятор выше выполняет все шаги: принимает 10 значений, цену деления прибора и доверительную вероятность, возвращает среднее, СКО, коэффициент Стьюдента, случайную и полную погрешности.

Коэффициент Стьюдента для n = 10

Число степеней свободы k = n − 1 = 9. Значения коэффициента из таблицы Стьюдента:

В студенческих лабораторных работах по умолчанию используют P = 0,95 и t = 2,262.

Формулы расчёта

Среднее арифметическое:

x̄ = (1/n) · Σxᵢ

Среднеквадратичное отклонение среднего (стандартная ошибка):

Sx̄ = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n·(n−1)) )

Случайная погрешность:

Δxсл = t(P, n−1) · Sx̄

Приборная погрешность:

Δxпр = θ / √3 – для прибора с ценой деления θ при равномерном распределении ошибки. Часто на практике берут просто Δxпр = θ/2.

Полная абсолютная погрешность:

Δx = √(Δxсл² + Δxпр²)

Относительная погрешность:

ε = (Δx / x̄) · 100%

Пример: измерение длины стержня

Получены 10 значений длины (мм): 152,3; 152,1; 152,4; 152,2; 152,5; 152,3; 152,1; 152,4; 152,2; 152,3. Цена деления линейки – 0,1 мм. P = 0,95.

1. Среднее: x̄ = 1521,8 / 10 = 152,28 мм.
2. Сумма квадратов отклонений: Σ(xᵢ − x̄)² = 0,156.
3. СКО среднего: Sx̄ = √(0,156 / 90) = √0,001733 ≈ 0,0416 мм.
4. Коэффициент Стьюдента t(0,95; 9) = 2,262.
5. Случайная погрешность: Δxсл = 2,262 · 0,0416 ≈ 0,094 мм.
6. Приборная: Δxпр = 0,1 / √3 ≈ 0,058 мм.
7. Полная: Δx = √(0,094² + 0,058²) ≈ 0,11 мм.

Ответ: L = 152,28 ± 0,11 мм, P = 0,95. Относительная погрешность ε ≈ 0,07%.

Когда 10 измерений мало, а когда много

• Если разброс данных в пределах одной цены деления – серию из 10 замеров можно сократить до 3–5: случайная составляющая всё равно меньше приборной.
• Если СКО на порядок больше цены деления – увеличьте число замеров до 20–30 или ищите источник нестабильности.
• При обнаружении точки с отклонением больше 3·Sx̄ проверьте её по критерию Граббса: возможно, это промах, который нужно исключить.

Частые ошибки при обработке

• Используют коэффициент Стьюдента для n вместо n−1 степеней свободы.
• Складывают случайную и приборную погрешности линейно, а не по квадратичной формуле.
• Округляют среднее точнее, чем погрешность (правильно – до того же разряда).
• Записывают результат с тремя-четырьмя значащими цифрами в погрешности (оставляют 1–2).

Материал носит справочный характер; для метрологических расчётов руководствуйтесь действующими ГОСТ и методиками аттестованных лабораторий.