Площадь вписанной окружности в квадрат и многоугольник

Площадь вписанной окружности — один из ключевых параметров в геометрии, необходимый для решения задач по строительству, дизайну и инженерным расчетам. Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника изнутри, и её площадь зависит от радиуса, который определяется характеристиками самого многоугольника.

Обновлено:

Содержание статьи
Выбор типа многоугольника
Единица измерения

Что такое вписанная окружность

Вписанная окружность (или вписанный круг) — это окружность, которая находится внутри многоугольника и касается всех его сторон. Центр такой окружности называется инцентром, а расстояние от центра до любой стороны многоугольника — радиусом вписанной окружности (обозначается буквой r).

Вписанная окружность существует не для всех многоугольников:

Формула площади вписанной окружности

Площадь любой окружности вычисляется по стандартной формуле:

$$S = \pi r^2$$

где:

Главное — правильно определить радиус r в зависимости от типа многоугольника.

Радиус вписанной окружности для разных фигур

Вписанная окружность в квадрат

Для квадрата со стороной a радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{a}{2}$$

Площадь вписанной окружности в квадрат:

$$S = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Пример: квадрат с стороной 8 см

Вписанная окружность в треугольник

Для любого треугольника радиус вписанной окружности определяется через площадь и полупериметр:

$$r = \frac{S}{p}$$

где:

Для равностороннего треугольника со стороной a:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Пример: равносторонний треугольник с стороной 12 см

Вписанная окружность в правильный многоугольник

Для правильного многоугольника с n сторонами и стороной a:

$$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$$
МногоугольникФормула радиусаПример (a = 10)
Треугольник (n=3)r = a/(2√3)r ≈ 2,89 см
Квадрат (n=4)r = a/2r = 5 см
Пятиугольник (n=5)r = a/(2tan(36°))r ≈ 6,88 см
Шестиугольник (n=6)r = a/(2tan(30°))r ≈ 8,66 см

Как использовать калькулятор

  1. Выбери тип многоугольника — квадрат, треугольник или правильный многоугольник
  2. Введи известные параметры — сторону, площадь или полупериметр в зависимости от типа фигуры
  3. Нажми “Рассчитать” — получишь радиус и площадь вписанной окружности
  4. Результаты выведутся — площадь в выбранных единицах измерения

Пошаговые примеры расчета

Пример 1: Квадрат

Задача: найти площадь окружности, вписанной в квадрат со стороной 6 см.

Решение:

  1. Находим радиус: r = 6 / 2 = 3 см
  2. Рассчитываем площадь: S = π × 3² = 9π ≈ 28,27 см²

Ответ: 28,27 см²

Пример 2: Правильный треугольник

Задача: треугольник со стороной 10 см, найти площадь вписанной окружности.

Решение:

  1. Находим радиус: r = (10 × √3) / 6 ≈ 2,887 см
  2. Рассчитываем площадь: S = π × 2,887² ≈ 26,18 см²

Ответ: 26,18 см²

Пример 3: Произвольный треугольник

Задача: треугольник со сторонами 5, 12 и 13 см. Найти площадь вписанной окружности.

Решение:

  1. Проверяем: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² — прямоугольный треугольник
  2. Площадь треугольника: S = (5 × 12) / 2 = 30 см²
  3. Полупериметр: p = (5 + 12 + 13) / 2 = 15 см
  4. Радиус вписанной окружности: r = 30 / 15 = 2 см
  5. Площадь окружности: S = π × 2² = 4π ≈ 12,57 см²

Ответ: 12,57 см²

Практическое применение

Типичные ошибки

ОшибкаПочему это неправильноПравильный подход
Путаница между вписанной и описанной окружностьюЭто разные окружности с разными радиусамиВписанная внутри и касается сторон, описанная снаружи и проходит через вершины
Использование половины периметра вместо полупериметраПолупериметр — это половина периметра, не путай с периметромp = (a + b + c) / 2 для треугольника
Забывчивость возведения в квадрат при расчете площадиS = πr, это неправильноS = πr² — необходимо возвести радиус в квадрат
Применение одной формулы ко всем многоугольникамРазные многоугольники имеют разные связи между стороной и радиусомПроверь тип многоугольника и используй соответствующую формулу

Связь между площадью многоугольника и вписанной окружностью

Есть полезное свойство: площадь многоугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и периметр:

$$S_{\text{многоугольника}} = r \times p$$

где p — полупериметр многоугольника.

Это значит, что чем больше радиус вписанной окружности при одинаковом периметре, тем больше площадь многоугольника. Правильные многоугольники имеют наибольший радиус вписанной окружности среди всех многоугольников с одинаковым периметром.

Внимание: все расчеты выполнены с использованием стандартных геометрических формул. Проверяй результаты перед использованием в критичных проектах.

Часто задаваемые вопросы

Как найти площадь вписанной окружности?

Используй формулу S = π × r², где r — радиус вписанной окружности. Радиус можно вычислить через сторону многоугольника или другие известные параметры фигуры.

Какой радиус у окружности, вписанной в квадрат со стороной 10 см?

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата: r = 10 / 2 = 5 см. Площадь = π × 5² ≈ 78,54 см².

Чем отличается вписанная окружность от описанной?

Вписанная окружность находится внутри многоугольника и касается всех его сторон. Описанная окружность находится снаружи и проходит через все вершины многоугольника.

Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник?

Используй формулу r = S / p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр (половина суммы всех сторон).

Существует ли вписанная окружность для любого многоугольника?

Нет, вписанная окружность существует только для многоугольников, которые имеют равноудаленные точки касания. Для треугольника и правильного многоугольника вписанная окружность всегда существует.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.