Площадь вписанной окружности

Что такое вписанная окружность

Вписанная окружность (или вписанный круг) — это окружность, которая находится внутри многоугольника и касается всех его сторон. Центр такой окружности называется инцентром, а расстояние от центра до любой стороны многоугольника — радиусом вписанной окружности (обозначается буквой r).

Вписанная окружность существует не для всех многоугольников:

• Для треугольников — всегда существует
• Для четырехугольников — только если сумма противоположных сторон равны
• Для правильных многоугольников — всегда существует

Формула площади вписанной окружности

Площадь любой окружности вычисляется по стандартной формуле:

$$S = \pi r^2$$

где:

• S — площадь окружности
• r — радиус вписанной окружности
• π — математическая константа, примерно равная 3,14159

Главное — правильно определить радиус r в зависимости от типа многоугольника.

Радиус вписанной окружности для разных фигур

Вписанная окружность в квадрат

Для квадрата со стороной a радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{a}{2}$$

Площадь вписанной окружности в квадрат:

$$S = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Пример: квадрат с стороной 8 см

• r = 8 / 2 = 4 см
• S = π × 4² = 16π ≈ 50,27 см²

Вписанная окружность в треугольник

Для любого треугольника радиус вписанной окружности определяется через площадь и полупериметр:

$$r = \frac{S}{p}$$

где:

• S — площадь треугольника
• p — полупериметр (p = (a + b + c) / 2)
• a, b, c — стороны треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной a:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Пример: равносторонний треугольник с стороной 12 см

• r = (12 × √3) / 6 ≈ 3,46 см
• S = π × 3,46² ≈ 37,70 см²

Вписанная окружность в правильный многоугольник

Для правильного многоугольника с n сторонами и стороной a:

$$r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$$

Как использовать калькулятор

1. Выбери тип многоугольника — квадрат, треугольник или правильный многоугольник
2. Введи известные параметры — сторону, площадь или полупериметр в зависимости от типа фигуры
3. Нажми “Рассчитать” — получишь радиус и площадь вписанной окружности
4. Результаты выведутся — площадь в выбранных единицах измерения

Пошаговые примеры расчета

Пример 1: Квадрат

Задача: найти площадь окружности, вписанной в квадрат со стороной 6 см.

Решение:

1. Находим радиус: r = 6 / 2 = 3 см
2. Рассчитываем площадь: S = π × 3² = 9π ≈ 28,27 см²

Ответ: 28,27 см²

Пример 2: Правильный треугольник

Задача: треугольник со стороной 10 см, найти площадь вписанной окружности.

Решение:

1. Находим радиус: r = (10 × √3) / 6 ≈ 2,887 см
2. Рассчитываем площадь: S = π × 2,887² ≈ 26,18 см²

Ответ: 26,18 см²

Пример 3: Произвольный треугольник

Задача: треугольник со сторонами 5, 12 и 13 см. Найти площадь вписанной окружности.

Решение:

1. Проверяем: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² — прямоугольный треугольник
2. Площадь треугольника: S = (5 × 12) / 2 = 30 см²
3. Полупериметр: p = (5 + 12 + 13) / 2 = 15 см
4. Радиус вписанной окружности: r = 30 / 15 = 2 см
5. Площадь окружности: S = π × 2² = 4π ≈ 12,57 см²

Ответ: 12,57 см²

Практическое применение

• Строительство — расчет площади круглых элементов внутри квадратных или треугольных сооружений
• Ландшафтный дизайн — размещение круглых клумб внутри многоугольных участков
• Производство — оптимизация расходования материала при вырезании кругов из многоугольных заготовок
• Архитектура — проектирование арок, куполов и округлых элементов внутри многоугольных помещений

Типичные ошибки

Связь между площадью многоугольника и вписанной окружностью

Есть полезное свойство: площадь многоугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и периметр:

$$S_{\text{многоугольника}} = r \times p$$

где p — полупериметр многоугольника.

Это значит, что чем больше радиус вписанной окружности при одинаковом периметре, тем больше площадь многоугольника. Правильные многоугольники имеют наибольший радиус вписанной окружности среди всех многоугольников с одинаковым периметром.

Внимание: все расчеты выполнены с использованием стандартных геометрических формул. Проверяй результаты перед использованием в критичных проектах.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.