Площадь треугольника через радиус вписанной

Что такое радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности (обозначается буквой r) — это радиус окружности, которая касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Центр такой окружности называется инцентром и находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Вписанная окружность существует для любого треугольника.

Связь радиуса вписанной окружности с площадью треугольника выражается простой формулой, которая особенно удобна для решения задач, когда известны длины всех сторон.

Основная формула площади через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр:

S = p · r

Где:

• S — площадь треугольника
• p — полупериметр треугольника: p = (a + b + c)/2
• r — радиус вписанной окружности
• a, b, c — длины сторон треугольника

Эта формула универсальна для всех типов треугольников: остроугольных, тупоугольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних.

Формула для нахождения радиуса через площадь

Если известна площадь треугольника и его стороны, радиус вписанной окружности вычисляется так:

r = S / p

Это преобразование основной формулы, полезное для обратных задач.

Как пользоваться калькулятором

1. Введите длины всех трёх сторон треугольника (a, b, c)
2. Введите радиус вписанной окружности (r)
3. Калькулятор автоматически вычислит полупериметр
4. Получите площадь треугольника

Калькулятор проверяет корректность данных: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей (неравенство треугольника).

Пошаговый алгоритм расчёта

Шаг 1. Проверьте, что стороны образуют треугольник:

• a + b > c
• b + c > a
• a + c > b

Шаг 2. Вычислите полупериметр: p = (a + b + c) / 2

Шаг 3. Умножьте полупериметр на радиус вписанной окружности: S = p · r

Шаг 4. Проверьте результат альтернативным методом (формула Герона или через высоту).

Примеры расчётов

Пример 1: Прямоугольный треугольник

Дано: стороны a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см, радиус вписанной окружности r = 1 см.

Решение:

• p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см
• S = 6 · 1 = 6 см²

Проверка: По формуле S = ½·a·b = ½·3·4 = 6 см². Результат совпадает.

Пример 2: Равносторонний треугольник

Дано: все стороны a = 6 см, радиус вписанной окружности r = √3 см ≈ 1,732 см.

Решение:

• p = (6 + 6 + 6) / 2 = 9 см
• S = 9 · 1,732 ≈ 15,59 см²

Проверка: Для равностороннего треугольника S = (a²√3)/4 = (36√3)/4 = 9√3 ≈ 15,59 см².

Пример 3: Разносторонний треугольник

Дано: стороны a = 5 м, b = 6 м, c = 7 м, радиус вписанной окружности r = 1,5 м.

Решение:

• p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9 м
• S = 9 · 1,5 = 13,5 м²

Проверка: По формуле Герона S = √(9·4·3·2) = √216 ≈ 14,7 м². Возможно несоответствие — проверьте точность радиуса.

Связь с формулой Герона

Формула Герона позволяет найти площадь только через стороны:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

Комбинируя её с формулой S = p·r, получаем выражение для радиуса:

r = √((p-a)(p-b)(p-c) / p)

Это удобно, когда радиус неизвестен, но нужно его найти по сторонам треугольника.

Особые случаи треугольников

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c:

r = (a + b - c) / 2

Это упрощённая формула, которая следует из общего выражения.

Равносторонний треугольник

Для равностороннего треугольника со стороной a:

r = a / (2√3) = a√3 / 6

Площадь: S = (a²√3) / 4

Равнобедренный треугольник

Формула остаётся стандартной: S = p·r, где p учитывает две равные стороны и основание.

Применение в задачах

Геометрия: Нахождение неизвестных элементов треугольника, построение вписанных окружностей.

Планиметрия: Решение задач на комбинации фигур, расчёт площадей сложных многоугольников.

Инженерные расчёты: Проектирование деталей треугольной формы, расчёт материалов.

ЕГЭ и ОГЭ: Задачи на связь элементов треугольника, комбинированные задачи по геометрии.

Таблица: радиус вписанной окружности для стандартных треугольников

Частые ошибки при расчётах

Ошибка 1: Использование периметра вместо полупериметра. Формула требует именно p = (a+b+c)/2, а не полного периметра.

Ошибка 2: Несоответствие единиц измерения. Если стороны в метрах, радиус должен быть в метрах, площадь получится в м².

Ошибка 3: Некорректные данные. Стороны должны удовлетворять неравенству треугольника, иначе треугольник не существует.

Ошибка 4: Неправильное округление. При промежуточных расчётах используйте больше знаков после запятой, округляйте только финальный результат.

Проверка результата

Для контроля правильности используйте альтернативные методы:

1. Формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
2. Через высоту: Найдите высоту к любой стороне и вычислите S = ½·основание·высота
3. Обратный расчёт: Найдите r = S/p и сравните с исходным значением радиуса

Расхождения более 5% указывают на ошибку в данных или вычислениях.

Советы по использованию калькулятора

• Всегда проверяйте, что стороны образуют треугольник
• Используйте одинаковые единицы измерения для всех величин
• Для точных результатов вводите значения с 2-3 знаками после запятой
• Сохраняйте промежуточные результаты для повторных расчётов
• При нестандартных значениях радиуса перепроверьте данные

Заключение

Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности S = p·r — универсальный и удобный инструмент для геометрических расчётов. Калькулятор автоматизирует вычисления, исключает ошибки и экономит время при решении задач. Используйте его для учёбы, проектирования и проверки результатов других методов расчёта площади.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.