Как вычислить площадь треугольника

Треугольник – базовая фигура геометрии, и его площадь считают десятком способов. Выбор формулы зависит от того, какие данные известны: стороны, углы, высоты или координаты. Ниже – все основные способы с примерами расчётов.

Через сторону и высоту

Классическая формула, которую изучают в школе:

S = ½ × a × h

где a – сторона треугольника, h – высота, проведённая к этой стороне.

Пример. Сторона равна 10, высота к ней – 6. Площадь: S = ½ × 10 × 6 = 30.

Формула работает для любого треугольника: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Высоту можно провести к каждой из трёх сторон – результат будет одинаковым.

Через две стороны и угол между ними

Если известны две стороны и угол, который они образуют:

S = ½ × a × b × sin(γ)

где γ – угол между сторонами a и b. Угол берётся в градусах, перед подстановкой в sin его переводят в радианы (или используют калькулятор в режиме «градусы»).

Пример. Стороны 8 и 5, угол между ними 30°. Площадь: S = ½ × 8 × 5 × sin(30°) = ½ × 8 × 5 × 0,5 = 10.

По формуле Герона

Самый удобный способ, когда известны все три стороны, но ни одной высоты или угла:

S = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c))

где p – полупериметр: p = (a + b + c) / 2.

Пример. Стороны 7, 8, 9. Полупериметр: p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12. Площадь: S = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26,83.

По координатам вершин

Если вершины заданы на координатной плоскости – A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) – площадь вычисляют по формуле:

S = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Модуль гарантирует положительный результат независимо от порядка обхода вершин.

Пример. Вершины A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3). Площадь: S = ½ × |0(0 − 3) + 4(3 − 0) + 0(0 − 0)| = ½ × |12| = 6.

Через радиус вписанной окружности

Связь площади с полупериметром и радиусом вписанной окружности r:

S = p × r

где p – полупериметр. Формула удобна, когда вписанная окружность задана условием задачи.

Через радиус описанной окружности

Если известны все три стороны и радиус описанной окружности R:

S = (a × b × c) / (4R)

Пример. Стороны 5, 6, 7, радиус описанной окружности ≈ 3,57. Площадь: S = (5 × 6 × 7) / (4 × 3,57) ≈ 210 / 14,28 ≈ 14,71.

Частные случаи

Равносторонний треугольник

Все стороны равны a, все углы по 60°. Упрощённая формула:

S = (a² × √3) / 4

Пример. Сторона 6. Площадь: S = (36 × √3) / 4 = 9√3 ≈ 15,59.

Прямоугольный треугольник

Площадь равна половине произведения катетов:

S = ½ × a × b

где a и b – катеты. Это частный случай формулы «сторона и высота», где один катет служит основанием, а второй – высотой.

Равнобедренный треугольник

Две боковые стороны равны b, основание a. Через основание и высоту к нему:

S = ½ × a × h

Высоту можно найти по теореме Пифагора: h = √(b² − (a/2)²).

Какую формулу выбрать?

Площадь треугольника можно вычислить минимум восемью способами – выбор зависит от исходных данных. Калькулятор выше автоматически подбирает подходящую формулу и считает результат.

Формулы приведены для плоских треугольников. Для сферических и других неевклидовых случаев требуются иные выражения.