Площадь треугольника по стороне

Когда одной стороны достаточно

Единственный случай, когда площадь можно рассчитать по одной стороне — это равносторонний треугольник, где все три стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника

Формула:

$$S = \frac{a^2 \times \sqrt{3}}{4}$$

Где:

• a — длина стороны треугольника
• √3 ≈ 1,732

Пример расчета:

Дан равносторонний треугольник со стороной 6 см.

$$S = \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \times 1,732}{4} = \frac{62,35}{4} = 15,59 \text{ см}^2$$

Площадь треугольника по стороне и высоте

Если известна одна сторона и высота, проведенная к ней, применяется классическая формула.

Формула:

$$S = \frac{a \times h}{2}$$

Где:

• a — сторона треугольника
• h — высота, перпендикулярная к стороне a

Пример:

Сторона = 8 см, высота = 5 см.

$$S = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}^2$$

Практический совет: Высота — это перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к стороне. Убедитесь, что измеренная высота действительно перпендикулярна стороне.

Площадь по одной стороне и двум углам

Если известна сторона и два угла, сначала найдите высоту через синус угла.

Формула для высоты:

$$h = a \times \sin(\beta)$$

Где:

• a — известная сторона
• β — один из прилежащих углов

Затем используйте:

$$S = \frac{a \times h}{2}$$

Пример:

Сторона a = 10 см, прилежащий угол = 45°.

$$h = 10 \times \sin(45°) = 10 \times 0,707 = 7,07 \text{ см}$$

$$S = \frac{10 \times 7,07}{2} = 35,35 \text{ см}^2$$

Площадь по трем сторонам (формула Герона)

Если известны все три стороны, используйте формулу Герона — наиболее универсальный метод.

Формула:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Где:

• a, b, c — стороны треугольника
• p — полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$

Пример:

Стороны: a = 5 см, b = 6 см, c = 7 см.

$$p = \frac{5+6+7}{2} = 9 \text{ см}$$

$$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 14,70 \text{ см}^2$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Если известны боковая сторона a и основание b, используйте:

Формула:

$$S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$

Где:

• a — боковая сторона
• b — основание

Пример:

Боковые стороны = 5 см, основание = 6 см.

$$S = \frac{6}{4}\sqrt{4 \times 25 - 36} = \frac{6}{4}\sqrt{100-36} = \frac{6}{4} \times 8 = 12 \text{ см}^2$$

Площадь по двум сторонам и углу между ними

Формула:

$$S = \frac{a \times b \times \sin(\gamma)}{2}$$

Где:

• a, b — две стороны
• γ — угол между ними

Пример:

Стороны: a = 7 см, b = 8 см, угол между ними = 60°.

$$S = \frac{7 \times 8 \times \sin(60°)}{2} = \frac{56 \times 0,866}{2} = 24,24 \text{ см}^2$$

Типичные ошибки при расчете

Когда нужна дополнительная информация

Если вам дана только одна сторона и больше ничего, уточните:

• ✓ Это равносторонний треугольник?
• ✓ Какова высота, проведенная к этой стороне?
• ✓ Известны ли остальные две стороны?
• ✓ Известны ли два угла при этой стороне?
• ✓ Какой тип треугольника (прямоугольный, равнобедренный)?

Практическое применение

В строительстве площадь треугольника часто считают для расчета кровельных материалов на треугольных крышах.

В дизайне — для определения размера декоративных элементов.

В геодезии — при разделении земельных участков на треугольные части.

Используйте калькулятор выше для быстрых расчетов. Помните: одна сторона — недостаточный данные, кроме равностороннего треугольника. Всегда проверяйте наличие дополнительной информации перед расчетом.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.