Площадь равна периметру

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите тип фигуры: прямоугольник, квадрат, круг или треугольник
2. Задайте известный параметр: для прямоугольника укажите одну из сторон, для других фигур — доступный размер
3. Нажмите “Рассчитать”: калькулятор найдет остальные размеры, при которых площадь равна периметру
4. Проверьте результат: система покажет значения площади и периметра для подтверждения равенства

Калькулятор автоматически решает уравнение S = P для выбранной фигуры и находит соответствующие размеры.

Прямоугольник: площадь равна периметру

Для прямоугольника со сторонами a и b условие выглядит так:

S = P
a × b = 2(a + b)

Решая это уравнение относительно одной из сторон:

b = 2a/(a - 2)

Важное ограничение: сторона a должна быть больше 2, иначе вторая сторона получится отрицательной или бесконечной.

Примеры прямоугольников

Практический пример: если вам нужен прямоугольный участок земли со стороной 6 метров, у которого площадь равна периметру, вторая сторона должна быть 3 метра. Площадь = 18 м², периметр = 18 м.

Квадрат: единственное решение

У квадрата все стороны равны (a = b), поэтому уравнение упрощается:

a² = 4a
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0

Решение: a = 4 (вариант a = 0 не имеет геометрического смысла)

Единственный квадрат с площадью равной периметру имеет сторону 4 единицы:

• Площадь: 4² = 16
• Периметр: 4 × 4 = 16

Круг: площадь равна длине окружности

Для круга с радиусом r:

πr² = 2πr
r² = 2r
r(r - 2) = 0

Решение: r = 2

Круг с радиусом 2 единицы имеет:

• Площадь: π × 2² = 4π ≈ 12.57
• Длина окружности: 2 × π × 2 = 4π ≈ 12.57

Треугольник: площадь равна периметру

Для треугольника задача сложнее, так как форм треугольников бесконечно много. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a:

Площадь: S = (a²√3)/4
Периметр: P = 3a

Условие S = P:

(a²√3)/4 = 3a
a√3 = 12
a = 12/√3 ≈ 6.93

Равносторонний треугольник со стороной ≈6.93 имеет площадь и периметр примерно 20.78.

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c:

ab/2 = a + b + c

Решений множество. Пример: треугольник 5-12-13 (Пифагоров):

• Площадь: (5 × 12)/2 = 30
• Периметр: 5 + 12 + 13 = 30

Как решать задачи: пошаговая инструкция

Задача 1: Найти стороны прямоугольника

Условие: одна сторона прямоугольника равна 5 см, площадь равна периметру. Найти вторую сторону.

Решение:

1. Используем формулу: b = 2a/(a - 2)
2. Подставляем a = 5: b = (2 × 5)/(5 - 2) = 10/3 ≈ 3.33 см
3. Проверка: S = 5 × 3.33 = 16.67; P = 2(5 + 3.33) = 16.67 ✓

Задача 2: Существует ли прямоугольник со стороной 2?

Решение:

1. Проверяем условие: a > 2
2. При a = 2: b = (2 × 2)/(2 - 2) = 4/0 — деление на ноль
3. Ответ: нет, прямоугольник со стороной 2 не может иметь площадь равную периметру

Задача 3: Найти радиус круга

Условие: найти радиус круга, у которого площадь численно равна длине окружности.

Решение:

1. Уравнение: πr² = 2πr
2. Упрощаем: r² = 2r
3. Решаем: r = 2
4. Ответ: радиус = 2 единицы

Единицы измерения: важное замечание

Равенство площади и периметра зависит от выбора единиц измерения. Например:

• Квадрат 4×4 метра: S = 16 м², P = 16 м ✓
• Тот же квадрат в сантиметрах: S = 16,000 см², P = 1,600 см ✗

Правило: используйте одинаковые единицы для корректного сравнения. Если периметр в метрах, площадь должна быть в квадратных метрах.

Практическое применение

Строительство и планирование

При проектировании участков иногда полезно найти формы с равными числовыми значениями площади и периметра для упрощения расчетов материалов:

• Забор: если стоимость забора пропорциональна периметру, а налог на землю — площади, равенство упрощает бюджетирование
• Клумбы и грядки: выбор размеров с S = P помогает быстро оценить расход материалов

Математические задачи

Задачи на равенство площади и периметра развивают:

• Алгебраическое мышление
• Понимание связи между размерностями
• Навыки решения уравнений

Типичные ошибки

❌ Ошибка 1: забывать про ограничение a > 2 для прямоугольника
✓ Правильно: всегда проверяйте, что сторона больше 2

❌ Ошибка 2: сравнивать площадь в м² с периметром в см
✓ Правильно: приводите к одной системе единиц

❌ Ошибка 3: считать, что все фигуры имеют целочисленные решения
✓ Правильно: большинство решений — дробные или иррациональные числа

❌ Ошибка 4: путать площадь с объемом
✓ Правильно: площадь — двумерная величина (м²), периметр — одномерная (м)

Обобщение: другие фигуры

Ромб

Для ромба со стороной a и высотой h:

S = a × h
P = 4a

Условие: ah = 4a, откуда h = 4

Любой ромб с высотой 4 единицы имеет S = P.

Параллелограмм

Аналогично ромбу, зависит от высоты. При фиксированной стороне a и высоте h:

ah = 2(a + b), где b — вторая сторона.

Решений множество в зависимости от выбора параметров.

Дополнительные сведения

Историческая справка: задачи на равенство площади и периметра известны с античности. Евклид рассматривал подобные соотношения в «Началах».

Для углубленного изучения: исследуйте многоугольники с большим числом сторон. Для правильных n-угольников существуют аналогичные решения, но они требуют более сложных вычислений.

Интересный факт: в трехмерном пространстве существует аналогичная задача — найти тела, у которых объем численно равен площади поверхности (например, куб со стороной 6).

Обратите внимание: равенство площади и периметра — это числовое совпадение при определенных единицах измерения, а не физическое равенство величин разной размерности.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.