Площадь правильного треугольника

Узнайте, как быстро рассчитать S равностороннего треугольника, используя сторону, высоту или радиусы окружностей.

Обновлено:

Содержание статьи
Параметры треугольника
Введите положительное число в см, м или мм
Максимум 10 знаков

Правильный (или равносторонний) треугольник — это одна из самых совершенных фигур в геометрии. Его стороны равны, а углы одинаковы. Необходимость вычислить площадь правильного треугольника возникает не только на уроках геометрии, но и в архитектуре, дизайне, строительстве и инженерном деле.

На этой странице вы найдете удобный инструмент для мгновенного расчета, а также теоретическую базу с формулами и разбором примеров, которые помогут понять принцип вычислений.

Как пользоваться калькулятором

Наш онлайн калькулятор позволяет избежать рутинных вычислений и ошибок, связанных с иррациональными числами (корнями). Чтобы получить результат, выполните следующие действия:

  1. Выберите известный параметр. В большинстве случаев задачи решаются через длину стороны, но калькулятор может поддерживать и другие варианты (например, через высоту).
  2. Введите значение. Укажите число в соответствующем поле. Убедитесь, что вы используете правильные единицы измерения (см, м, мм).
  3. Получите результат. Система мгновенно рассчитает площадь.

Инструмент идеально подходит для проверки домашнего задания или быстрых расчетов при проектировании конструкций.

Что такое правильный треугольник?

Прежде чем переходить к формулам, важно четко понимать свойства фигуры. Правильный треугольник (он же равносторонний) обладает следующими характеристиками:

Благодаря этим свойствам формулы для вычисления площади выглядят гораздо проще, чем для разносторонних треугольников.

Формулы расчета площади

Существует несколько способов найти площадь ($S$), в зависимости от того, какие данные вам известны.

1. Формула через сторону

Это самый распространенный и простой способ. Если вам известна длина стороны треугольника ($a$), формула выглядит так:

$$S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$$

Где:

2. Формула через высоту

Если в условии задачи дана высота ($h$), проведенная к любой стороне, можно использовать следующую зависимость:

$$S = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$

Или в более привычном виде с избавлением от иррациональности в знаменателе:

$$S = \frac{h^2 \cdot \sqrt{3}}{3}$$

3. Формула через радиус описанной окружности

Для описанной окружности радиуса $R$:

$$S = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot R^2}{4}$$

4. Формула через радиус вписанной окружности

Для вписанной окружности радиуса $r$:

$$S = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot r^2$$

Примеры решения задач

Разберем несколько конкретных примеров, чтобы закрепить понимание формул. Для упрощения расчетов будем принимать $\sqrt{3} \approx 1.73$.

Пример 1: Известна сторона

Задача: Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 4 см.

Решение:

  1. Используем формулу: $S = (a^2 \cdot \sqrt{3}) / 4$.
  2. Возводим сторону в квадрат: $4^2 = 16$.
  3. Подставляем в формулу: $S = (16 \cdot 1.73) / 4$.
  4. Сокращаем 16 и 4: $S = 4 \cdot 1.73$.
  5. Результат: $S = 6.92$ см².

Пример 2: Известна высота

Задача: Высота правильного треугольника равна 3 м. Чему равна его площадь?

Решение:

  1. Используем формулу: $S = h^2 / \sqrt{3}$.
  2. Возводим высоту в квадрат: $3^2 = 9$.
  3. Считаем: $9 / 1.73$.
  4. Результат: $S \approx 5.2$ м².

Где это применяется на практике?

Понимание того, как найти площадь правильного треугольника, полезно в реальной жизни:

Используйте наш калькулятор для получения точных значений без необходимости запоминать сложные коэффициенты и константы.

Часто задаваемые вопросы

Какая основная формула площади правильного треугольника?

Самая распространенная формула расчета — через длину стороны: S = (a² × √3) / 4.

Что такое правильный треугольник?

Это треугольник, у которого все три стороны равны между собой, а все углы составляют 60 градусов.

Как найти площадь, зная только высоту?

Если известна высота h, площадь вычисляется по формуле: S = h² / √3.

Можно ли рассчитать площадь через радиус описанной окружности?

Да, формула выглядит так: S = (3 × √3 × R²) / 4, где R — радиус описанной окружности.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.