Площадь основания правильной пирамиды

Площадь основания правильной геометрической фигуры — это один из ключевых параметров при расчете объема пирамид, призм и конусов. Правильные фигуры имеют симметричное основание в виде правильного многоугольника или круга, что значительно упрощает вычисления. Знание формул для расчета площади основания необходимо как в школьной геометрии, так и в практических инженерных расчетах.

Обновлено: 4 декабря 2025 г.

Содержание статьи

Инструкция по использованию калькулятора
Формулы площади основания для правильных фигур
Методология расчета
- Принцип работы формул
- Пошаговый пример расчета для правильного пятиугольника
Ключевые понятия
Практические примеры и кейсы
Типичные ошибки при расчетах
Советы и рекомендации

Инструкция по использованию калькулятора

Выберите тип фигуры из выпадающего меню: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, правильный многоугольник или круг.
Введите исходные данные: сторону многоугольника, радиус или необходимые размеры.
Нажмите кнопку “Рассчитать” — получите точное значение площади основания.
Изучите подробное решение с применяемой формулой и пошаговыми вычислениями.

Формулы площади основания для правильных фигур

Правильный треугольник

Если в основании правильная (равносторонняя) треугольная пирамида или призма:

$$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

где a — длина стороны треугольника.

Пример: сторона 6 см

$$S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \times 1{,}732}{4} \approx 15{,}59 \text{ см}^2$$

Квадрат

Самый простой случай — когда основание квадратное:

$$S = a^2$$

где a — длина стороны квадрата.

Пример: сторона 5 см

$$S = 5^2 = 25 \text{ см}^2$$

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник часто встречается в кристаллических структурах и инженерных конструкциях:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2$$

где a — длина стороны шестиугольника.

Пример: сторона 4 см

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 4^2 = \frac{3 \times 1{,}732}{2} \times 16 \approx 41{,}57 \text{ см}^2$$

Правильный многоугольник (n сторон)

Универсальная формула для любого правильного многоугольника:

$$S = \frac{n \times a^2}{4} \times \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

или через апофему (высоту от центра к середине стороны):

$$S = \frac{1}{2} \times P \times h$$

где:

n — количество сторон
a — длина стороны
P — периметр многоугольника
h — апофема

Пример: правильный восьмиугольник со стороной 3 см

$$S = \frac{8 \times 3^2}{4} \times \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) = 18 \times \cot(22{,}5°) \approx 43{,}46 \text{ см}^2$$

Круг (основание конуса)

Для правильного конуса основание — окружность:

$$S = \pi r^2$$

где r — радиус окружности.

Пример: радиус 5 см

$$S = \pi \times 5^2 = 3{,}14159 \times 25 \approx 78{,}54 \text{ см}^2$$

Методология расчета

Принцип работы формул

Все формулы площади правильного многоугольника основаны на разделении фигуры на треугольники. Если из центра многоугольника провести линии к каждой вершине, получится n равнобедренных треугольников.

Площадь одного треугольника:

$$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times a \times h$$

где h — апофема (высота треугольника из центра).

Апофема вычисляется через половину стороны и радиус описанной окружности.

Пошаговый пример расчета для правильного пятиугольника

Параметр	Значение
Сторона (a)	4 см
Количество сторон (n)	5
Угол при вершине	360° / 5 = 72°
Полуугол	36°
Апофема (h)	4 / (2 × tg(36°)) ≈ 2,75 см
Периметр (P)	5 × 4 = 20 см
Площадь	(1/2) × 20 × 2,75 ≈ 27,5 см²

Или через формулу:

$$S = \frac{5 \times 4^2}{4} \times \cot(36°) = 20 \times \cot(36°) \approx 27{,}5 \text{ см}^2$$

Ключевые понятия

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.

Апофема — кратчайшее расстояние от центра многоугольника до середины его стороны. Проще говоря — высота треугольника, на которые разбивается многоугольник.

Правильная пирамида — пирамида с правильным многоугольником в основании и вершиной, проецирующейся в центр этого многоугольника.

Правильная призма — призма с правильным многоугольником в основании и боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.

Практические примеры и кейсы

Пример 1: Расчет объема правильной треугольной пирамиды

Известны: сторона основания a = 8 см, высота пирамиды h = 10 см.

Находим площадь основания:
$$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \times 1{,}732}{4} \approx 27{,}71 \text{ см}^2$$
Вычисляем объем:
$$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 27{,}71 \times 10 \approx 92{,}37 \text{ см}^3$$

Пример 2: Расчет объема конуса

Известны: радиус основания r = 6 см, высота h = 12 см.

Находим площадь основания (круга):
$$S = \pi r^2 = 3{,}14159 \times 6^2 \approx 113{,}1 \text{ см}^2$$
Вычисляем объем:
$$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 113{,}1 \times 12 \approx 452{,}4 \text{ см}^3$$

Пример 3: Площадь основания шестигранной призмы

Нужно найти объем правильной шестигранной призмы со стороной основания a = 5 см и высотой h = 15 см.

Площадь основания:
$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = \frac{3 \times 1{,}732}{2} \times 25 \approx 64{,}95 \text{ см}^2$$
Объем:
$$V = S \times h = 64{,}95 \times 15 \approx 974{,}3 \text{ см}^3$$

Типичные ошибки при расчетах

Путаница между радиусом и диаметром — для круга используется радиус, а не диаметр. Если дан диаметр, разделите его на 2.
Забывают про √3 и π — эти коэффициенты критичны для точности. √3 ≈ 1,732, а π ≈ 3,14159.
Неправильное количество сторон — пересчитайте стороны многоугольника перед расчетом.
Использование неправильной формулы для многоугольника — убедитесь, что многоугольник действительно правильный (все стороны и углы равны).
Единицы измерения — все параметры должны быть в одних единицах (см, м, мм). Результат площади будет в квадратных единицах (см², м²).

Советы и рекомендации

Для быстрого расчета используйте онлайн-калькулятор — он исключит арифметические ошибки.
Запомните формулы для треугольника, квадрата и круга — они встречаются чаще всего.
Проверяйте размерность — если сторона в сантиметрах, результат будет в см², если в метрах — в м².
Используйте приближение π ≈ 3,14 для быстрых вычислений без калькулятора, но для точности берите больше знаков.

Дисклеймер: Калькулятор предоставляет результаты в справочных целях. Для критичных инженерных расчетов рекомендуется проверка результатов и консультация со специалистами.

Часто задаваемые вопросы

Что такое основание правильной фигуры?

Основание — это нижняя грань пирамиды, призмы или конуса. Для правильных фигур основанием служит правильный многоугольник (правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.) или круг.

Как найти площадь основания правильной пирамиды со стороной 5 см?

Если основание — квадрат со стороной 5 см, то площадь равна 5² = 25 см². Если треугольник со стороной 5 см, то S = (5² × √3) / 4 ≈ 10,83 см².

Отличается ли формула для правильной призмы и пирамиды?

Нет, формула площади основания одинакова для призмы и пирамиды. Отличие только в том, что пирамида имеет одно основание, а призма — два параллельных основания.

Как рассчитать площадь основания правильного конуса?

Основание конуса — круг. Площадь вычисляется по формуле S = πr², где r — радиус основания.

Можно ли использовать калькулятор для разных типов оснований?

Да, инструмент поддерживает расчеты для правильных треугольников, квадратов, правильных многоугольников с любым числом сторон и кругов.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.