Площадь через

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите тип фигуры — треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, круг или произвольный четырехугольник
2. Укажите известные параметры — калькулятор автоматически предложит доступные методы расчета
3. Введите числовые значения — стороны, диагонали, углы или радиусы в выбранных единицах измерения
4. Получите результат — площадь отобразится с пошаговым решением и применяемыми формулами

Калькулятор поддерживает различные единицы измерения: миллиметры, сантиметры, метры, километры, дюймы, футы, ярды, мили.

Основные формулы площади

Треугольник

Через три стороны (формула Герона):

S = √(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))

где p = (a+b+c)/2 — полупериметр

Пример: стороны 3, 4, 5 см

• p = (3+4+5)/2 = 6
• S = √(6·3·2·1) = √36 = 6 см²

Через основание и высоту:

S = (a·h)/2

Через две стороны и угол между ними:

S = (a·b·sin(γ))/2

Пример: стороны 5 и 7 см, угол 30°

• S = (5·7·0,5)/2 = 8,75 см²

Через радиус описанной окружности:

S = (a·b·c)/(4R)

Прямоугольник

Через стороны:

S = a·b

Через диагональ и угол:

S = d²·sin(α)/2

где α — угол между диагоналями

Пример: диагональ 10 см, угол 60°

• S = 100·sin(60°)/2 = 100·0,866/2 = 43,3 см²

Через диагональ и сторону:

S = a·√(d²-a²)

Пример: сторона 6 см, диагональ 10 см

• S = 6·√(100-36) = 6·8 = 48 см²

Квадрат

Через сторону:

S = a²

Через диагональ:

S = d²/2

Пример: диагональ 8 см

• S = 64/2 = 32 см²

Через периметр:

S = P²/16

Ромб

Через диагонали:

S = (d₁·d₂)/2

Пример: диагонали 8 и 6 см

• S = (8·6)/2 = 24 см²

Через сторону и угол:

S = a²·sin(α)

Пример: сторона 5 см, угол 60°

• S = 25·0,866 = 21,65 см²

Через сторону и высоту:

S = a·h

Параллелограмм

Через основание и высоту:

S = a·h

Через две стороны и угол:

S = a·b·sin(α)

Через диагонали и угол между ними:

S = (d₁·d₂·sin(φ))/2

Трапеция

Через основания и высоту:

S = ((a+b)·h)/2

Пример: основания 10 и 6 см, высота 4 см

• S = ((10+6)·4)/2 = 32 см²

Через среднюю линию:

S = m·h

где m = (a+b)/2

Через диагонали и угол:

S = (d₁·d₂·sin(α))/2

Круг

Через радиус:

S = πr²

Через диаметр:

S = πd²/4

Пример: диаметр 10 см

• S = 3,14·100/4 = 78,5 см²

Через длину окружности:

S = C²/(4π)

Четырехугольники: общие методы

Произвольный четырехугольник

Формула Бретшнайдера (через все стороны и углы):

S = √((p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd·cos²((α+γ)/2))

где p = (a+b+c+d)/2, α и γ — противоположные углы

Через диагонали:

S = (d₁·d₂·sin(φ))/2

где φ — угол между диагоналями

Вписанный четырехугольник

Формула Брахмагупты:

S = √((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))

Пример: стороны 5, 6, 7, 8 см

• p = 26/2 = 13
• S = √(8·7·6·5) = √1680 = 40,99 см²

Специальные случаи

Площадь через радиус вписанной окружности

Для треугольника:

S = p·r

где p — полупериметр

Для многоугольника:

S = P·r/2

где P — периметр

Площадь через координаты вершин

Для треугольника с вершинами A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃):

S = |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|/2

Пример: A(0,0), B(4,0), C(4,3)

• S = |0·(0-3) + 4·(3-0) + 4·(0-0)|/2 = 12/2 = 6

Единицы измерения площади

Британские единицы:

Типичные ошибки при расчете площади

1. Неправильный выбор формулы

• Использование формулы прямоугольника для параллелограмма без учета угла
• Правильно: для параллелограмма S = a·b·sin(α), не S = a·b

2. Путаница с единицами измерения

• Смешивание метров и сантиметров в одной формуле
• Пример ошибки: сторона 2 м, высота 50 см → S = 2·50 = 100 (неверно)
• Правильно: 2 м·0,5 м = 1 м² = 10 000 см²

3. Неверное применение формулы Герона

• Забывают вычислить полупериметр
• Ошибка: используют полный периметр вместо p = (a+b+c)/2

4. Ошибки с углами

• Путают градусы и радианы
• Используют неправильный угол (между сторонами вместо угла между диагоналями)

5. Округление на промежуточных этапах

• Округляют √2 ≈ 1,4 вместо 1,414
• Последствие: накопление погрешности в итоговом результате

Практические советы

Когда использовать какую формулу

Если известны все стороны:

• Треугольник → формула Герона
• Четырехугольник вписанный → формула Брахмагупты
• Четырехугольник произвольный → формула Бретшнайдера

Если известны диагонали:

• Прямоугольник, ромб, квадрат → S = (d₁·d₂)/2 или с учетом угла
• Произвольный четырехугольник → S = (d₁·d₂·sin(φ))/2

Если известны стороны и углы:

• Треугольник → S = (a·b·sin(γ))/2
• Параллелограмм, ромб → S = a·b·sin(α)

Проверка результата

Метод 1: Разбиение на простые фигуры Сложную фигуру можно разделить на треугольники или прямоугольники и сложить их площади.

Метод 2: Сравнение с площадью описанного прямоугольника Площадь фигуры должна быть меньше площади прямоугольника, в который она вписана.

Метод 3: Использование альтернативной формулы Если известно несколько параметров, рассчитайте площадь двумя разными способами.

Примечание: При расчетах с углами убедитесь, что калькулятор или формула использует правильный режим (градусы или радианы). В большинстве практических задач углы задаются в градусах: 1 радиан = 180°/π ≈ 57,3°.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.