Площадь треугольника ABC

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите метод расчета в зависимости от известных данных:

   • По основанию и высоте
   • По трем сторонам (формула Герона)
   • По двум сторонам и углу между ними
   • По координатам вершин
   • По стороне и двум прилежащим углам

2. Введите известные значения в соответствующие поля

3. Укажите единицы измерения (метры, сантиметры, дюймы и т.д.)

4. Нажмите кнопку “Рассчитать” — результат отобразится мгновенно

Калькулятор автоматически проверяет корректность введенных данных и показывает ошибку, если треугольник с такими параметрами не может существовать.

Формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Самая простая и интуитивная формула:

S = (1/2) × a × h

где:

• S — площадь треугольника
• a — длина основания
• h — высота, опущенная на это основание

Пример: основание a = 10 см, высота h = 6 см

S = (1/2) × 10 × 6 = 30 см²

По формуле Герона (через три стороны)

Универсальный способ когда известны все три стороны:

S = √(p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

где p — полупериметр: p = (a+b+c)/2

Пример: стороны a = 5 см, b = 6 см, c = 7 см

p = (5+6+7)/2 = 9 см
S = √(9 × (9-5) × (9-6) × (9-7))
S = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14,7 см²

По двум сторонам и углу между ними

Удобная формула когда известны две стороны и угол между ними:

S = (1/2) × a × b × sin(γ)

где γ — угол между сторонами a и b

Пример: стороны a = 8 см, b = 10 см, угол γ = 30°

S = (1/2) × 8 × 10 × sin(30°)
S = (1/2) × 8 × 10 × 0,5 = 20 см²

По координатам вершин

Для треугольника с вершинами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):

S = (1/2)|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|

Пример: A(0,0), B(4,0), C(2,3)

S = (1/2)|0(0-3) + 4(3-0) + 2(0-0)|
S = (1/2)|0 + 12 + 0| = 6 единиц²

По стороне и двум прилежащим углам

Если известна сторона a и углы B и C при вершинах на её концах:

S = (a² × sin B × sin C) / (2 × sin A)

где A = 180° - B - C (третий угол треугольника)

Пример: сторона a = 10 см, углы B = 45°, C = 60°

A = 180° - 45° - 60° = 75°
S = (100 × sin45° × sin60°) / (2 × sin75°)
S = (100 × 0,707 × 0,866) / (2 × 0,966) ≈ 31,7 см²

Основные понятия

Типы треугольников и особенности расчета

Прямоугольный треугольник

Если один из углов равен 90°, площадь рассчитывается проще:

S = (1/2) × a × b

где a и b — катеты (стороны, образующие прямой угол)

Пример: катеты 3 см и 4 см

S = (1/2) × 3 × 4 = 6 см²

Равнобедренный треугольник

Имеет две равные стороны. Если известны боковая сторона a и основание b:

S = (b/4) × √(4a² - b²)

Пример: боковая сторона a = 5 см, основание b = 6 см

S = (6/4) × √(4×25 - 36)
S = 1,5 × √64 = 1,5 × 8 = 12 см²

Равносторонний треугольник

Все стороны равны. Упрощенная формула для стороны a:

S = (a² × √3) / 4

Пример: сторона a = 6 см

S = (36 × 1,732) / 4 ≈ 15,6 см²

Практические советы

Выбор метода расчета

1. Есть основание и высота? — используйте базовую формулу S = (1/2)×a×h
2. Известны все три стороны? — применяйте формулу Герона
3. Две стороны и угол? — формула через синус удобнее всего
4. Координаты на плоскости? — используйте векторный метод
5. Прямоугольный треугольник? — достаточно умножить катеты и разделить на 2

Проверка результата

Метод 1: Сумма углов треугольника всегда 180°

α + β + γ = 180°

Метод 2: Неравенство треугольника — сумма двух сторон всегда больше третьей

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Метод 3: Площадь всегда положительна и не может превышать площадь описанного прямоугольника

Частые ошибки

• Неправильные единицы измерения — все размеры должны быть в одних единицах
• Градусы vs радианы — убедитесь, что калькулятор использует правильный режим для углов
• Округление на промежуточных этапах — округляйте только итоговый результат
• Игнорирование модуля — в формуле через координаты результат берется по модулю
• Неправильный выбор основания — высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию

Примеры из практики

Строительство и проектирование

Задача: Рассчитать площадь треугольного участка земли со сторонами 25 м, 30 м и 35 м.

Решение:

p = (25+30+35)/2 = 45 м
S = √(45×20×15×10) = √135000 ≈ 367,4 м²

Дизайн интерьера

Задача: Найти площадь треугольной декоративной вставки с основанием 80 см и высотой 50 см.

Решение:

S = (1/2) × 80 × 50 = 2000 см² = 0,2 м²

Навигация и картография

Задача: Определить площадь треугольной зоны на карте с вершинами A(2,3), B(5,7), C(8,2).

Решение:

S = (1/2)|2(7-2) + 5(2-3) + 8(3-7)|
S = (1/2)|10 - 5 - 32| = (1/2)|-27| = 13,5 единиц²

Связь с другими характеристиками треугольника

Расширенные формулы

Формула через радиус описанной окружности

S = (a × b × c) / (4R)

где R — радиус описанной окружности

Формула через радиус вписанной окружности

S = r × p

где r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр

Формула через медианы

Если известны все три медианы ma, mb, mc:

S = (4/3) × √(pm × (pm-ma) × (pm-mb) × (pm-mc))

где pm = (ma+mb+mc)/2

Применение в различных областях

Геодезия: расчет площадей земельных участков треугольной формы

Архитектура: определение площади треугольных элементов конструкций и декора

Компьютерная графика: расчет площадей полигонов для 3D-моделирования

Физика: вычисление площадей в векторных и силовых задачах

Астрономия: определение угловых размеров небесных объектов

Примечание: Калькулятор предоставляет приближенные значения для практических расчетов. Для точных инженерных вычислений рекомендуется использовать специализированное программное обеспечение с повышенной точностью.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.