Первая труба наполняет бассейн за 6 часов

Задачи, где первая труба наполняет бассейн за 6 часов, а вторая работает с другой скоростью, – классический тип заданий на совместную работу. Они встречаются в ОГЭ (задание 21), на ЕГЭ профильного уровня (задание 10) и в школьных олимпиадах. Разберём универсальный метод решения и три типичных варианта условия.

Базовая формула совместной работы

Любая задача про трубы и бассейны строится на одном принципе: производительность – это часть работы, выполненная за единицу времени.

Если труба наполняет бассейн за t часов, её производительность:

Когда трубы работают вместе, их производительности складываются:

где:

• $t_1$ – время первой трубы,
• $t_2$ – время второй трубы,
• $t_{\text{совм}}$ – время при совместной работе.

Объём бассейна принимаем за 1 (целый бассейн). Конкретный объём в литрах на расчёт не влияет – он сокращается в уравнении.

Как решить задачу пошагово

Алгоритм одинаков для любого варианта условия:

1. Принять весь объём за 1. Это избавит от лишней переменной.
2. Записать производительности каждой трубы как $\frac{1}{t}$.
3. Составить уравнение по формуле совместной работы.
4. Привести дроби к общему знаменателю и решить уравнение.
5. Проверить ответ – время должно быть положительным и осмысленным.

Разберём три типичных сценария, где фигурирует число 6.

Вариант 1. Известны обе трубы – найти общее время

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая – за 3 часа. За сколько часов наполнится бассейн при одновременной работе?

Производительность первой: $\frac{1}{6}$.

Производительность второй: $\frac{1}{3}$.

Складываем:

Вместе трубы наполняют половину бассейна за час. Значит, весь бассейн наполнится за:

Ответ: 2 часа.

Вариант 2. Известны общее время и одна труба – найти вторую

Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Переводим 3 часа 36 минут в дробь: $36 : 60 = 0{,}6$, итого $3{,}6 = \frac{18}{5}$ часа.

Совместная производительность: $\frac{5}{18}$.

Производительность первой трубы: $\frac{1}{6}$.

Составляем уравнение:

Ответ: 9 часов.

Вариант 3. Совместное время с минутами – найти вторую трубу

Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут. Первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?

Переводим: $6$ часов $18$ минут $= 6 + \frac{18}{60} = 6 + \frac{3}{10} = \frac{63}{10}$ часа.

Совместная производительность: $\frac{10}{63}$.

Уравнение:

Ответ: 21 час.

Ошибки, которые снижают балл

Не перевели минуты в часы. Самая частая ошибка – подставить «3 часа 36 минут» как 3,36. Правильно: $3 + \frac{36}{60} = 3{,}6 = \frac{18}{5}$. Дробная форма надёжнее десятичной.

Забыли перевернуть дробь в конце. Если получили $\frac{1}{t_2} = \frac{1}{9}$, ответ – 9, а не $\frac{1}{9}$. Время – это знаменатель дроби производительности.

Потеряли общий знаменатель при вычитании. Вычитая $\frac{1}{6}$ из $\frac{5}{18}$, нужно привести к 18, а не вычитать «в лоб».

Не проверили смысл ответа. Если в задаче на совместную работу получилось, что одна труба наполняет бассейн медленнее, чем обе вместе – это нормально. Но если время вышло отрицательным – где-то ошибка в знаках.

Когда задача усложняется

В продвинутых вариантах встречаются дополнительные условия:

• Трубы включаются поочерёдно. Первая работает a часов, затем вторая – b часов. Уравнение: $\frac{a}{t_1} + \frac{b}{t_2} = 1$.
• Одна труба наполняет, другая сливает. Производительность сливной записывается с минусом: $\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}$.
• Производительность меняется. Например, после засорения труба стала работать вдвое медленнее – её новое время удваивается, а производительность делится на 2.

Во всех случаях исходная формула остаётся прежней – меняется только способ записи уравнения.