Перевод в системы счисления

Система счисления – это способ представления числа, и одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной десятичной системе можно записать как 11001000 в двоичной, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной. Умение переводить числа между системами счисления – это базовый навык, без которого сложно двигаться дальше в программировании, математике или цифровой обработке информации.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Разберёмся, как переводить числа между основными системами, используемыми в информатике и программировании.

Что такое система счисления и основание

В десятичной системе счисления мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основание системы счисления показывает количество цифр, которые используются.

Двоичная система счисления использует только две цифры – 0 и 1, и применяется в вычислительной технике. Восьмеричная система использует восемь цифр – от 0 до 7. Шестнадцатеричная система использует цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F, которые соответственно обозначают числа 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа: 200₁₀ = 11001000₂ = 310₈ = C8₁₆.

Перевод из любой системы в десятичную

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на Xⁿ, где X – основание исходного числа, n – номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

Пример 1: Переведём двоичное число 1011 в десятичную систему.

1011₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

Пример 2: Переведём восьмеричное число 421 в десятичную систему.

421₈ = 4 × 8² + 2 × 8¹ + 1 × 8⁰ = 256 + 16 + 1 = 273₁₀

Пример 3: Переведём шестнадцатеричное число C8 в десятичную систему.

C8₁₆ = 12 × 16¹ + 8 × 16⁰ = 192 + 8 = 200₁₀

Перевод из десятичной системы в любую другую

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, необходимо целочисленно делить переводимое число на основание той системы, в которую мы хотим его перевести, до тех пор пока результат целочисленного деления не станет равен 0. Результатом перевода будут цифры остатка от каждого деления, в обратном порядке.

Пример 1: Переведём число 273 в восьмеричную систему.

• 273 ÷ 8 = 34, остаток 1
• 34 ÷ 8 = 4, остаток 2
• 4 ÷ 8 = 0, остаток 4

Читаем остатки снизу вверх: 273₁₀ = 421₈

Пример 2: Переведём число 200 в двоичную систему.

• 200 ÷ 2 = 100, остаток 0
• 100 ÷ 2 = 50, остаток 0
• 50 ÷ 2 = 25, остаток 0
• 25 ÷ 2 = 12, остаток 1
• 12 ÷ 2 = 6, остаток 0
• 6 ÷ 2 = 3, остаток 0
• 3 ÷ 2 = 1, остаток 1
• 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 200₁₀ = 11001000₂

Пример 3: Переведём число 200 в шестнадцатеричную систему.

• 200 ÷ 16 = 12, остаток 8
• 12 ÷ 16 = 0, остаток 12 (буква C)

Читаем остатки снизу вверх: 200₁₀ = C8₁₆

Как перевести двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную систему

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Из двоичной в восьмеричную: Разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево (так как 8 = 2³).

Пример: 1010111010 в двоичной = 1.010.111.010 = 1272₈.

Из двоичной в шестнадцатеричную: Разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево (так как 16 = 2⁴).

Пример: 1100001111010110₂ = 1100 0011 1101 0110₂ = C3D6₁₆.

Перевод дробных чисел

Чтобы перевести дробное число в систему счисления с основанием N, нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно записывается в результат.

Пример: Переведём десятичное число 0,625 в двоичную систему.

• 0,625 × 2 = 1,25 (берём целую часть 1)
• 0,25 × 2 = 0,5 (берём целую часть 0)
• 0,5 × 2 = 1,0 (берём целую часть 1, дробная часть обнулилась)

Результат: 0,625₁₀ = 0,101₂

Для смешанного числа переводят отдельно целую часть (методом деления) и дробную часть (методом умножения), затем объединяют результаты через запятую.

Универсальный метод: через десятичную систему

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Например, чтобы перевести число из двоичной в шестнадцатеричную:

1. Переводим двоичное число в десятичное
2. Переводим десятичное число в шестнадцатеричное

Хотя это требует двух шагов, метод работает для перевода между любыми системами счисления и часто проще для понимания, чем прямые преобразования.

Где применяется перевод систем счисления

В вычислительной технике компьютеры работают с двоичными числами, программы нередко используют шестнадцатеричные значения, а сами данные могут представляться в самых разных форматах.

При помощи шестнадцатеричной системы указывают цвет, например #FF0000 – это красный цвет. Также шестнадцатеричная система используется в адресах памяти, машинном коде и при отладке программ.

Двоичная система является основой цифровой электроники и процессорной архитектуры. Восьмеричная система иногда применяется в определении прав доступа к файлам в операционных системах Unix/Linux.