Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую нужен почти всем: школьникам, студентам, программистам и всем, кто сталкивается с информатикой и компьютерами. В этой статье вы найдете:

• понятное объяснение, что такое система счисления;
• простой онлайн-калькулятор перевода чисел;
• подробные примеры перевода из одной системы счисления в другую;
• базовые алгоритмы для самостоятельного перевода.

Что такое система счисления простыми словами

Система счисления — это способ записи чисел с помощью набора символов (цифр) и правила вычисления их значения.

Главные характеристики:

• основание системы (например, 2, 8, 10, 16);
• набор допустимых цифр (0–1, 0–7, 0–9, 0–9 и A–F и т. д.).

Популярные системы счисления

В учебе и программировании чаще всего используют:

• двоичная (2) — цифры 0 и 1, основание 2;
• восьмеричная (8) — цифры 0–7, основание 8;
• десятичная (10) — привычные цифры 0–9, основание 10;
• шестнадцатеричная (16) — цифры 0–9 и буквы A–F (A=10, B=11, …, F=15), основание 16.

Число в конкретной системе часто записывают с указанием основания, например:

• 1011₂ — двоичное число;
• 753₈ — восьмеричное;
• 125₁₀ — десятичное;
• 2F₁₆ — шестнадцатеричное.

Какие переводы выполняет наш калькулятор

Онлайн-калькулятор перевода систем счисления позволяет:

• переводить из любой системы счисления в диапазоне от 2 до 36 в другую;
• работать с:
  • двоичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной;
  • другими основаниями (3, 4, 5, 7, 12, 20, 36 и т. д.);
• обрабатывать:
  • целые числа;
  • дробные числа с разделителем . или ,;
  • отрицательные числа (со знаком -).

Поддерживаются записи вида:

• 1011 (двоичное, если вы так выбрали);
• 7F (шестнадцатеричное);
• 10.375 (десятичное дробное);
• -1A.4 (отрицательное число с дробной частью в системе с основанием ≥ 11).

Как пользоваться калькулятором перевода систем счисления

Шаг 1. Введите исходное число

В поле ввода укажите число, которое нужно перевести:

• для десятичной системы — обычные цифры 0–9;
• для систем с основанием больше 10 — цифры 0–9 и латинские буквы A–Z.

Примеры корректного ввода:

• 45 (для десятичной);
• 101101 (для двоичной);
• 7F (для шестнадцатеричной);
• 10.375 или 10,375 (дробное число).

Шаг 2. Выберите исходную систему счисления

В списке «Исходная система» укажите основание, в котором сейчас записано число:

• 2 — если это двоичное число;
• 8 — если восьмеричное;
• 10 — если обычное десятичное;
• 16 — если шестнадцатеричное;
• другое значение от 2 до 36 — при необходимости.

Важно: цифры числа не должны превышать основание. Например, число 19 нельзя задать в системе с основанием 9, а G нельзя использовать в шестнадцатеричной (там максимум F).

Шаг 3. Выберите целевую систему счисления

В списке «Целевая система» выберите основание, в которое нужно перевести:

• 2 — если хотите получить двоичный вид;
• 8 — восьмеричный;
• 10 — десятичный;
• 16 — шестнадцатеричный;
• другое основание от 2 до 36 — при необходимости.

Шаг 4. Нажмите кнопку «Перевести»

Калькулятор:

1. Проверит корректность числа для выбранного основания.
2. Переведет его во внутренний десятичный формат.
3. Переведет из десятичного формата в выбранную целевую систему.
4. Покажет результат на экране.

Пример использования калькулятора

Задача: перевести число 45 из десятичной системы в двоичную.

1. Вводим: 45.
2. Исходная система: 10.
3. Целевая система: 2.
4. Нажимаем «Перевести».

Результат: 45₁₀ = 101101₂.

Калькулятор покажет число 101101 как результат в двоичной системе.

Как работает перевод из одной системы счисления в другую

Чтобы понять, что делает калькулятор внутри, полезно знать общую идею.

Общий принцип

Перевод из системы с основанием p в систему с основанием q обычно выполняется в два шага:

1. Из основания p в десятичную систему (основание 10).
2. Из десятичной системы в основание q.

Калькулятор эти шаги делает автоматически, но вы можете выполнить их и вручную.

Перевод из десятичной системы в другую

Для целых чисел из десятичной в систему с основанием p (например, 2, 8, 16) используют алгоритм деления с остатком.

Алгоритм

1. Делим число на основание p.
2. Запоминаем остаток от деления.
3. Частное снова делим на p, снова запоминаем остаток.
4. Повторяем, пока частное не станет равно 0.
5. Записываем остатки в обратном порядке — это искомое число в системе с основанием p.

Пример: 45₁₀ → 2 (двоичная система)

Переведем 45 в двоичную систему вручную:

1. 45 ÷ 2 = 22, остаток 1
2. 22 ÷ 2 = 11, остаток 0
3. 11 ÷ 2 = 5, остаток 1
4. 5 ÷ 2 = 2, остаток 1
5. 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
6. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 (останавливаемся, частное — 0)

Собираем остатки снизу вверх: 101101.

Итого: 45₁₀ = 101101₂.

Наш калькулятор сделает то же самое мгновенно.

Пример: 125₁₀ → 16 (шестнадцатеричная)

1. 125 ÷ 16 = 7, остаток 13. Остаток 13 в шестнадцатеричной системе — это D.
2. 7 ÷ 16 = 0, остаток 7.

Собираем остатки снизу вверх: 7D.

Получаем: 125₁₀ = 7D₁₆.

Перевод из другой системы счисления в десятичную

Здесь используется позиционная запись: каждая цифра умножается на основание в степени номера позиции.

Если число выглядит как dₙ dₙ₋₁ ... d₁ d₀ в системе с основанием p, то:

N = dₙ·pⁿ + dₙ₋₁·pⁿ⁻¹ + ... + d₁·p¹ + d₀·p⁰.

Пример: 101101₂ → 10 (двоичное в десятичное)

Число 101101₂:

• справа налево: цифры 1, 0, 1, 1, 0, 1;
• позиции: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Считаем:

• позиция 0: 1 · 2⁰ = 1 · 1 = 1;
• позиция 1: 0 · 2¹ = 0;
• позиция 2: 1 · 2² = 1 · 4 = 4;
• позиция 3: 1 · 2³ = 1 · 8 = 8;
• позиция 4: 0 · 2⁴ = 0;
• позиция 5: 1 · 2⁵ = 1 · 32 = 32.

Складываем: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45.

Получаем: 101101₂ = 45₁₀.

Пример: 7D₁₆ → 10 (шестнадцатеричное в десятичное)

Число 7D₁₆:

• 7 — это 7;
• D — это 13 в десятичной системе.

Позиции:

• D — позиция 0;
• 7 — позиция 1.

Считаем:

• D: 13 · 16⁰ = 13 · 1 = 13;
• 7: 7 · 16¹ = 7 · 16 = 112.

Сумма: 112 + 13 = 125.

Получаем: 7D₁₆ = 125₁₀.

Калькулятор делает такие умножения и сложения автоматически.

Перевод между произвольными системами счисления

Чтобы перевести число из системы с основанием p в систему с основанием q (например, из восьмеричной в шестнадцатеричную), удобно действовать так:

1. Перевести исходное число в десятичную систему.
2. Из десятичной — в целевую систему.

Пример: 753₈ → 16 (восьмеричная в шестнадцатеричную)

Шаг 1. 753₈ → 10

Число 753₈:

• позиции: 3 (0), 5 (1), 7 (2);
• основание = 8.

Считаем:

• 3: 3 · 8⁰ = 3 · 1 = 3;
• 5: 5 · 8¹ = 5 · 8 = 40;
• 7: 7 · 8² = 7 · 64 = 448.

Сумма: 448 + 40 + 3 = 491.

Итак, 753₈ = 491₁₀.

Шаг 2. 491₁₀ → 16

Делим 491 на 16:

1. 491 ÷ 16 = 30, остаток 11 (это B);
2. 30 ÷ 16 = 1, остаток 14 (это E);
3. 1 ÷ 16 = 0, остаток 1.

Собираем остатки снизу вверх: 1EB.

Получаем: 753₈ = 1EB₁₆.

Онлайн-калькулятор сделает эти два шага за один клик.

Перевод дробных чисел между системами счисления

Для дробных чисел перевод выполняется отдельно для целой и дробной части.

• Целая часть — как в примерах выше (деление с остатком или позиционная запись).
• Дробная часть — с помощью умножения на основание.

Алгоритм перевода дробной части из десятичной

Пусть есть дробь 0,375₁₀, основание целевой системы — 2.

1. Умножаем дробную часть на основание: 0,375 · 2 = 0,75 → берем целую часть 0.
2. Дробная часть результата (0,75) снова умножается на 2: 0,75 · 2 = 1,5 → берем целую часть 1.
3. Дальше берем только дробную часть 0,5: 0,5 · 2 = 1,0 → берем целую часть 1, дробная часть = 0 → можно остановиться.

Получившиеся целые части записываем по порядку: 0 1 1, получаем 0,011₂.

Пример: 10,375₁₀ → 2 (двоичная система)

1. Целая часть: 10₁₀.
   • 10 ÷ 2 = 5, остаток 0;
   • 5 ÷ 2 = 2, остаток 1;
   • 2 ÷ 2 = 1, остаток 0;
   • 1 ÷ 2 = 0, остаток 1. Остатки снизу вверх: 1010₂.
2. Дробная часть: 0,375₁₀ → 0,011₂ (как в примере выше).

Итого: 10,375₁₀ = 1010,011₂.

Калькулятор переводит дробные части по схожему принципу и показывает результат с заданной точностью (количеством знаков после запятой).

Типичные ошибки при переводе систем счисления

Чтобы получить правильный результат, избегайте распространенных ошибок:

1. Использование недопустимых цифр.
   Нельзя использовать цифру, которая не входит в алфавит системы:

   • в системе с основанием 2 допустимы только 0 и 1;
   • в системе 8 — только 0–7;
   • в шестнадцатеричной — 0–9 и A–F.

2. Путаница с основанием.
   Важно правильно указать, в какой системе записано исходное число.
   Например, 101 может быть:

   • 5 в двоичной системе (101₂ = 5₁₀);
   • 101 в десятичной;
   • другим значением в других системах.

3. Неправильный порядок остатков.
   При делении с остатком многие забывают, что остатки нужно записывать в обратном порядке, от последнего к первому.

4. Ошибки в степенях при переводе в десятичную.
   Нужно внимательно считать степени основания:

   • правая цифра — степень 0;
   • следующая — степень 1 и так далее.

5. Смешивание запятой и точки.
   В калькуляторе лучше использовать один тип разделителя дробной части — или запятую, или точку, в зависимости от того, как это работает в вашем браузере и реализации калькулятора.

Когда удобнее использовать калькулятор, а когда — считать вручную

Онлайн-калькулятор удобен, когда:

• нужно быстро перевести большое число;
• важно избежать арифметических ошибок;
• вы проверяете решение задачи;
• требуется перевод между «редкими» основаниями (например, 7 → 13, 12 → 20 и т. д.).

Ручной расчет полезен, когда:

• вы готовитесь к экзамену или контрольной по информатике;
• нужно показать полный ход решения;
• вы хотите лучше понять, как работают системы счисления и внутренние процессы в компьютере.

Лучший подход: сначала освоить алгоритмы на простых примерах, а потом использовать калькулятор как проверочный инструмент.

Итог

Перевод из одной системы счисления в другую — это не только школьная тема, но и практический навык для работы с компьютерами и программированием. Главное:

• понимать, что такое основание системы и допустимые цифры;
• знать два базовых шага: через десятичную систему;
• уметь пользоваться онлайн-калькулятором перевода систем счисления.

Используйте наш калькулятор для быстрого и точного перевода чисел, а примеры из этой статьи — для тренировки и понимания, как именно выполняется перевод между разными системами счисления.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.