Стороны и углы параллелограмма

Задачи, где требуется у параллелограмма найти стороны и углы, регулярно встречаются в школьном курсе геометрии (8–9 класс), на ОГЭ и ЕГЭ. Решение зависит от набора исходных данных: заданы диагонали, площадь, периметр, высота или координаты вершин. Ниже – все ключевые формулы, свойства и разобранные примеры.

Свойства параллелограмма, связанные со сторонами и углами

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого определения вытекают свойства, без которых невозможно решать задачи:

• Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
• Сумма соседних углов равна 180°: ∠A + ∠B = 180°.
• Сумма всех углов – 360°.
• Диагонали делят друг друга пополам в точке пересечения O: AO = OC, BO = OD.
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Обозначим стороны a и b, углы α (острый) и β (тупой), диагонали d₁ и d₂, высоты h_a и h_b.

Как найти стороны параллелограмма

По периметру и соотношению сторон

Периметр параллелограмма:

P = 2(a + b)

Если известен периметр и отношение сторон (например, a : b = 3 : 5), выразите одну сторону через другую и подставьте в формулу.

Пример. P = 48 см, a : b = 1 : 2. Тогда a = x, b = 2x → 2(x + 2x) = 48 → x = 8. Стороны: 8 см и 16 см.

По диагоналям и углу между ними

Связь сторон с диагоналями выражает тождество параллелограмма:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Если известны обе диагонали и одна сторона, вторая находится так:

b = √((d₁² + d₂²)/2 − a²)

Также стороны можно выразить через диагонали и угол φ между ними. В треугольнике, образованном половинами диагоналей, по теореме косинусов:

• a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² − 2·(d₁/2)·(d₂/2)·cos φ
• b² = (d₁/2)² + (d₂/2)² + 2·(d₁/2)·(d₂/2)·cos φ

(φ – острый угол между диагоналями).

По площади, стороне и углу

Площадь параллелограмма:

S = a · b · sin α

Отсюда неизвестная сторона:

b = S / (a · sin α)

По стороне и высоте

Площадь также равна S = a · ha, где h_a – высота, проведённая к стороне _a. Если известны площадь и высота:

a = S / h_a

Связь высоты со стороной и углом:

h_a = b · sin α, h_b = a · sin α

Отсюда: если известны сторона a и высота к ней h_a, а также угол α:

b = h_a / sin α

Как найти углы параллелограмма

По двум сторонам и диагонали

Зная стороны a, b и диагональ d₁, рассмотрим треугольник, образованный сторонами a, b и диагональю d₁. По теореме косинусов:

d₁² = a² + b² − 2ab · cos α

Отсюда:

cos α = (a² + b² − d₁²) / (2ab)

α = arccos((a² + b² − d₁²) / (2ab))

Второй угол: β = 180° − α.

Пример. a = 5, b = 8, d₁ = 11. cos α = (25 + 64 − 121) / (2·5·8) = −32/80 = −0,4 → α ≈ 113,6° (тупой угол). Тогда β ≈ 66,4°.

По площади и сторонам

Из формулы S = a · b · sin α:

sin α = S / (a · b)

α = arcsin(S / (a · b))

Пример. S = 40 см², a = 10 см, b = 8 см. sin α = 40 / 80 = 0,5 → α = 30° или α = 150°. Оба варианта допустимы – выбор зависит от условия задачи (острый или тупой угол). Второй угол: 180° − α.

По стороне и высоте

sin α = h_a / b (высота ha проведена к стороне _a)

α = arcsin(h_a / b)

Пример. b = 12, h_a = 6. sin α = 6/12 = 0,5 → α = 30°, β = 150°.

По диагоналям и площади

Площадь через диагонали:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin φ

где φ – угол между диагоналями. Найдя φ, через свойства треугольников определите углы параллелограмма, используя теорему косинусов (см. формулы выше).

Формулы диагоналей параллелограмма

Диагонали часто являются промежуточным шагом при нахождении сторон и углов. Формулы по теореме косинусов:

Из последнего тождества: если даны обе диагонали и одна сторона, сразу находится вторая сторона. Если даны обе стороны и одна диагональ, находится вторая диагональ, а затем углы.

Нахождение сторон и углов по координатам вершин

Если заданы координаты вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄):

1. Стороны – по формуле расстояния между точками:

   a = AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

2. Углы – через скалярное произведение векторов:

   cos α = (AB⃗ · AD⃗) / (|AB⃗| · |AD⃗|)

   где AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁), AD⃗ = (x₄ − x₁; y₄ − y₁).

Пример. A(0; 0), B(6; 0), C(8; 3), D(2; 3). AB⃗ = (6; 0), AD⃗ = (2; 3). a = 6, b = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,61. cos α = (12 + 0) / (6 · √13) = 12 / (6√13) ≈ 0,555 → α ≈ 56,3°, β ≈ 123,7°.

Разбор типовой задачи

Условие. Стороны параллелограмма – 6 см и 10 см, одна из диагоналей – 14 см. Найти углы параллелограмма и вторую диагональ.

Решение.

Шаг 1. Найдём угол по теореме косинусов. Диагональ 14 см лежит напротив угла α:

cos α = (6² + 10² − 14²) / (2 · 6 · 10) = (36 + 100 − 196) / 120 = −60 / 120 = −0,5

α = arccos(−0,5) = 120°

β = 180° − 120° = 60°

Шаг 2. Найдём вторую диагональ по тождеству параллелограмма:

d₂² = 2(a² + b²) − d₁² = 2(36 + 100) − 196 = 272 − 196 = 76

d₂ = √76 = 2√19 ≈ 8,72 см

Проверка через вторую формулу: d₂² = a² + b² + 2ab · cos α = 136 + 2·60·cos 120° = 136 − 60 = 76. Совпало.

Частные случаи параллелограмма

Для ромба углы удобно находить через диагонали: tg(α/2) = (d₁/2) / (d₂/2) = d₁ / d₂ (если d₁ < d₂).

Краткая сводка формул

Формулы применимы к любому параллелограмму. При решении экзаменационных задач проверяйте, не является ли фигура частным случаем (прямоугольником, ромбом).