Отрицательная степень

Что такое отрицательная степень?

Отрицательная степень — это математическая запись, которая показывает, сколько раз нужно взять число, обратное данному, и умножить его само на себя. Проще говоря, отрицательный показатель степени означает, что мы не умножаем число на себя, а делим на него (возводим в положительную степень и потом берем обратную дробь).

Это удобный способ записи для очень маленьких чисел или для упрощения алгебраических выражений, особенно при работе с дробями и переменными. Вместо того чтобы писать 1 / (x * x * x), можно использовать компактную запись x⁻³.

Основное правило и формула

Ключевое правило для понимания отрицательных степеней заключается в их преобразовании в положительные. Основная формула выглядит так:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Где:

• a — это основание степени (любое действительное число, кроме нуля).
• n — это показатель степени (натуральное число, то есть 1, 2, 3, …).

Эта формула означает, что чтобы выразить число a в отрицательной степени -n, нужно единицу разделить на это же число a, но уже в положительной степени n.

Важное ограничение: основание a не может быть равно нулю (a ≠ 0), так как деление на ноль в математике не определено.

Как посчитать отрицательную степень: пошаговая инструкция

Расчет можно свести к простой последовательности действий:

1. Возьмите основание степени. Например, для выражения 3⁻⁴ основание — это 3.
2. Запишите его как знаменатель дроби, а в числитель поставьте 1. Получится 1 / 3.
3. Замените отрицательный показатель на положительный. Показатель -4 становится 4. Теперь у вас есть выражение 1 / 3⁴.
4. Вычислите степень в знаменателе. В нашем случае 3⁴ = 3 * 3 * 3 * 3 = 81.
5. Запишите итоговый результат. 1 / 81.

Примеры расчетов

Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить понимание.

Пример 1: Целое число в отрицательной степени

Вычислим 5⁻³.

1. Применяем правило: 5⁻³ = 1 / 5³.
2. Возводим 5 в куб: 5³ = 125.
3. Результат: 5⁻³ = 1/125.

Пример 2: Дробь в отрицательной степени

Вычислим (2/5)⁻².

1. По правилу, отрицательная степень у дроби “переворачивает” эту дробь: (2/5)⁻² = (5/2)².
2. Теперь возводим перевернутую дробь в квадрат: (5/2)² = 5² / 2² = 25 / 4.
3. Результат: (2/5)⁻² = 6.25 или 25/4.

Пример 3: Десятичная дробь в отрицательной степени

Вычислим 0.1⁻⁴.

1. Удобнее всего десятичную дробь 0.1 представить в виде обычной: 1/10.
2. Подставляем в выражение: (1/10)⁻⁴.
3. Переворачиваем дробь и меняем знак степени: (10/1)⁴ = 10⁴.
4. Вычисляем: 10⁴ = 10 000.
5. Результат: 0.1⁻⁴ = 10 000.

Пример 4: Отрицательная степень с переменной

В алгебре часто встречаются выражения вида x⁻ⁿ. Они преобразуются по тому же правилу:

• x⁻⁵ = 1 / x⁵
• 3a⁻²b³ = 3 * (1/a²) * b³ = 3b³ / a²

Свойства отрицательных степеней

Отрицательные степени подчиняются всем основным свойствам степеней:

• Умножение: a⁻ⁿ * a⁻ᵐ = a⁻⁽ⁿ⁺ᵐ⁾
  • Пример: 2⁻³ * 2⁻² = 2⁻⁵ = 1/32
• Деление: a⁻ⁿ / a⁻ᵐ = a⁻ⁿ⁺ᵐ = aᵐ⁻ⁿ
  • Пример: 3⁻⁴ / 3⁻² = 3⁻⁴⁺² = 3⁻² = 1/9
• Возведение степени в степень: (a⁻ⁿ)ᵐ = a⁻ⁿᵐ
  • Пример: (4⁻¹)³ = 4⁻³ = 1/64

Важные нюансы и частые ошибки

1. Разница между a⁻ⁿ и -aⁿ. Это самая распространенная ошибка.

   • 2⁻³ = 1/8 (восьмая часть)
   • -2³ = -(2³) = -8 (минус восемь) Знак минус в показателе степени влияет на положение числа (в числителе или знаменателе), а знак перед числом — на знак результата.

2. Степень нуля. Выражение 0⁻ⁿ не имеет смысла, так как оно равно 1 / 0ⁿ, а деление на ноль невозможно.

3. Отрицательная степень единицы. 1⁻ⁿ всегда равно 1, так как 1 в любой степени равна 1, а 1/1 также равно 1.

Заключение

Отрицательная степень — это элегантный математический инструмент для представления обратных величин. Главное правило, которое нужно запомнить: число в отрицательной степени равно обратному числу в положительной степени. Понимание этого простого принципа позволяет легко решать задачи как с числами, так и с переменными, избегая распространенных ошибок и упрощая сложные выражения.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.