Обновлено:
Относительная погрешность измерения
Когда лаборант взвешивает образец на аналитических весах, абсолютная погрешность 0,01 г может быть отличным результатом или катастрофой – всё зависит от массы самого образца. Оценить качество измерения в контексте позволяет относительная погрешность измерения – безразмерная величина, показывающая долю ошибки от полученного значения.
Что такое относительная погрешность и как её рассчитать
Относительная погрешность измерения – это отношение абсолютной погрешности к измеренному значению. Она показывает, какую долю составляет ошибка от результата, и позволяет сравнивать точность измерений разных величин или выполненных в разных масштабах.
Формула относительной погрешности:
δ = |Δx| / x
где:
- δ – относительная погрешность (безразмерная величина);
- Δx – абсолютная погрешность измерения;
- x – измеренное значение.
Для выражения в процентах результат умножают на 100:
δ (%) = (|Δx| / x) × 100%
Калькулятор выше автоматически выполняет этот расчёт – достаточно ввести измеренное значение и абсолютную погрешность.
Чем относительная погрешность отличается от абсолютной
Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина (граммы, вольты, градусы), но не даёт представления о качестве измерения. Относительная погрешность лишена этого недостатка: она безразмерна и позволяет оценить точность независимо от масштаба.
Пример: при измерении расстояния от Москвы до Санкт-Петербурга ошибка в 1 км незначительна (относительная погрешность ≈ 0,2%). Но при измерении толщины листа бумаги ошибка в 1 км – абсурд, хотя абсолютная погрешность та же.
| Параметр | Абсолютная | Относительная |
|---|---|---|
| Обозначение | Δx | δ |
| Единица | Совпадает с измеряемой | Безразмерная (или %) |
| Что показывает | Величину ошибки | Долю ошибки в результате |
| Сравнимость | Только для одинаковых величин | Для любых измерений |
Как найти относительную погрешность: пошаговый алгоритм
- Определите абсолютную погрешность. Если она не задана напрямую, вычислите: Δx = |xизм − xист|, где xизм – измеренное значение, xист – истинное (действительное) значение.
- Разделите абсолютную погрешность на измеренное значение: δ = |Δx| / x.
- Умножьте на 100%, если нужен процентный формат.
Если истинное значение неизвестно, вместо него используют измеренное значение – именно так работает калькулятор выше.
Примеры расчёта относительной погрешности
Пример 1: Измерение напряжения
Мультиметр показал 220 В, действительное значение – 221,5 В.
- Абсолютная погрешность: Δx = |220 − 221,5| = 1,5 В
- Относительная погрешность: δ = 1,5 / 220 = 0,00682 ≈ 0,68%
Пример 2: Взвешивание на аналитических весах
Измеренная масса образца – 0,125 г, абсолютная погрешность весов – 0,001 г.
- δ = 0,001 / 0,125 = 0,008 = 0,8%
Для сравнения: при взвешивании груза 50 г на тех же весах относительная погрешность составит всего 0,002% – наглядно видно, что при малых значениях одна и та же абсолютная погрешность даёт бóльшую относительную ошибку.
Пример 3: Косвенные измерения
При определении площади квадрата со стороной a = 10,0 ± 0,1 см относительная погрешность стороны:
- δ(a) = 0,1 / 10 = 0,01 = 1%
Площадь S = a², поэтому относительная погрешность площади: δ(S) = 2 × δ(a) = 2%. Это правило работает для любой степенной зависимости.
Относительная погрешность и класс точности прибора
Для средств измерений нормируют не относительную, а приведённую погрешность – именно её указывают в классе точности. Приведённая погрешность вычисляется по формуле:
γ = (|Δx| / Xн) × 100%
где Xн – нормирующее значение (обычно верхний предел шкалы прибора).
Связь между приведённой и относительной погрешностями:
δ = γ × (Xн / x)
Отсюда важный вывод: относительная погрешность максимальна в начале шкалы и минимальна – в конце. Поэтому аналоговые электромеханические приборы рекомендуется использовать в верхней трети шкалы, где относительная погрешность наименьшая.
Формулы относительной погрешности для косвенных измерений
Если результат получают вычислением из нескольких прямых измерений, относительная погрешность складывается по определённым правилам:
| Операция | Формула результата | Относительная погрешность | ||
|---|---|---|---|---|
| Умножение | C = A × B | δ(C) = δ(A) + δ(B) | ||
| Деление | C = A / B | δ(C) = δ(A) + δ(B) | ||
| Возведение в степень | C = Aⁿ | δ(C) = | n | × δ(A) |
| Сложение | C = A + B | δ(C) = (ΔA + ΔB) / (A + B) | ||
| Вычитание | C = A − B | δ(C) = (ΔA + ΔB) / | A − B |
Последняя строка объясняет, почему вычитание близких величин – источник огромных ошибок: знаменатель мал, и относительная погрешность резко возрастает.
Статья носит информационный характер. Для ответственных метрологических расчётов сверяйтесь с ГОСТ 8.401-80 и нормативной документацией.
Часто задаваемые вопросы
Может ли относительная погрешность превышать 100%?
Да, если абсолютная погрешность больше самого измеренного значения. Такая ситуация указывает на крайне низкую точность измерения, результат которого практически неинформативен.
В каких единицах выражается относительная погрешность?
Относительная погрешность – безразмерная величина. На практике её записывают в долях единицы или переводят в проценты, умножая на 100.
Какой буквой обозначают относительную погрешность?
В российской метрологии используют строчную греческую букву δ (дельта). В англоязычной литературе часто встречается обозначение ε или RE (relative error).
Чем приведённая погрешность отличается от относительной?
Приведённая погрешность вычисляется не от измеренного значения, а от нормирующего – обычно диапазона шкалы или верхнего предела измерений прибора. Относительная всегда считается от фактического результата.
Зависит ли относительная погрешность от единиц измерения?
Нет, в этом её главное преимущество. Поскольку абсолютная погрешность и измеренное значение имеют одну размерность, при делении они сокращаются – результат не зависит от выбора единиц.