Определитель матрицы: онлайн калькулятор и расчет

Определитель матрицы — это число, которое характеризует свойства матрицы и применяется в линейной алгебре, геометрии и физике. Наш онлайн калькулятор позволяет быстро вычислить определитель матрицы без ручных расчетов. Используйте его для учебы, проверки решений и прикладных вычислений.

Обновлено:

Содержание статьи
Параметры матрицы От 2×2 до 10×10
Элементы матрицы
Введите числа в ячейки матрицы

Что такое определитель матрицы

Определитель (детерминант) — это числовая характеристика квадратной матрицы, обозначаемая det(A) или |A|. Определитель кодирует информацию о матрице: её обратимость, геометрический смысл преобразования, линейную независимость строк и столбцов.

Определитель определяется только для квадратных матриц (n × n). Для прямоугольных матриц эта операция не применяется.

Формулы определителя

Матрица 2×2

Для матрицы вида:

| a  b |
| c  d |

Формула: det = a·d − b·c

Пример:

| 2  3 |
| 1  4 |

det = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5

Матрица 3×3

Используется правило Саррюса или разложение по строке:

Правило Саррюса:

Для матрицы:

| a  b  c |
| d  e  f |
| g  h  i |

det = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi

Матрицы 4×4 и выше

Для больших матриц применяют:

Как пользоваться калькулятором

  1. Выберите размер матрицы (2×2, 3×3, 4×4 и т. д.)
  2. Введите значения элементов в соответствующие поля (целые числа, дроби или десятичные)
  3. Нажмите кнопку «Вычислить»
  4. Получите результат — значение определителя и шаги вычисления (при наличии)

Калькулятор работает мгновенно и подходит для проверки ручных вычислений, учебы и профессиональных расчетов.

Применение определителя

Особые случаи

СитуацияОпределительЗначение
Единичная матрица1Матрица не меняет пространство
Нулевая матрица0Матрица вырождена
Треугольная матрицаПроизведение диагоналиБыстро вычисляется
Матрица с нулевой строкой0Строки линейно зависимы

Примеры расчётов

Пример 1 (2×2):

| 5  2 |
| 3  4 |

det = 5·4 − 2·3 = 20 − 6 = 14

Пример 2 (3×3):

| 1  2  3 |
| 0  4  5 |
| 1  0  6 |

det = 1(4·6 − 5·0) − 2(0·6 − 5·1) + 3(0·0 − 4·1) det = 1·24 − 2·(−5) + 3·(−4) det = 24 + 10 − 12 = 22

Дисклеймер

Калькулятор предназначен для учебных целей и проверки вычислений. Для критически важных инженерных расчётов проверяйте результаты несколькими способами.

Часто задаваемые вопросы

Что такое определитель матрицы?

Определитель (детерминант) — это число, вычисленное из элементов квадратной матрицы, которое описывает её ключевые свойства. Он обозначается как det(A) или |A| и применяется для решения систем линейных уравнений, вычисления обратной матрицы и определения линейной зависимости векторов.

Какая формула определителя матрицы 2×2?

Для матрицы {{a, b}, {c, d}} определитель вычисляется по формуле: det = a×d − b×c. Например, для матрицы {{2, 3}, {1, 4}} результат: 2×4 − 3×1 = 8 − 3 = 5.

Как посчитать определитель матрицы 3×3?

Используйте метод разложения по первой строке или правило Саррюса. Правило Саррюса: умножьте диагонали слева направо, затем справа налево и вычтите. Для матриц 3×3 и выше проще использовать онлайн калькулятор.

Как использовать онлайн калькулятор определителя?

Введите размер матрицы (2×2, 3×3 или больше), заполните все элементы матрицы числами и нажмите кнопку «Вычислить». Калькулятор автоматически вычислит определитель и выведет результат.

Чему равен определитель единичной матрицы?

Определитель единичной матрицы всегда равен 1. Единичная матрица имеет единицы на диагонали и нули остальные позиции.

Что означает нулевой определитель?

Если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной. Это значит, что её строки (или столбцы) линейно зависимы, матрица необратима и система уравнений не имеет уникального решения.

Какие методы вычисления определителя существуют?

Основные методы: правило Саррюса для 3×3, разложение по строке/столбцу (метод Лапласа), метод Гаусса (приведение к треугольному виду) и прямое вычисление для 2×2.

Когда нужен определитель матрицы?

Определитель применяется при решении систем линейных уравнений (правило Крамера), вычислении обратной матрицы, расчёте площадей и объёмов в геометрии, анализе собственных значений в физике и машинном обучении.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.