Описанная сфера куба

Если нужно найти сферу, проходящую ровно через все восемь вершин куба, достаточно знать одну величину – длину стороны. Радиус такой сферы выражается через сторону a формулой:

R = a√3 / 2

Ниже – откуда берётся эта формула, как рассчитать площадь и объём сферы и как она соотносится с другими сферами куба.

Что такое описанная сфера куба

Описанная сфера (описанный шар) – это сфера, на поверхности которой лежат все вершины многогранника. Для куба таких вершин восемь, и все они равноудалены от одной точки – центра куба. Значит, куб всегда имеет описанную сферу, а её центр совпадает с центром куба.

Такая сфера единственна: через восемь точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, можно провести не более одной сферы.

Как выводится формула радиуса через сторону куба

Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра куба до любой из его вершин. Удобнее всего найти это расстояние через пространственную диагональ куба.

Пространственная диагональ соединяет две противоположные вершины и проходит через центр куба. Для куба со стороной a её длина равна d = a√3 – это следует из двукратного применения теоремы Пифагора:

1. Диагональ основания: d₁ = a√2
2. Пространственная диагональ: d = √(d₁² + a²) = √(2a² + a²) = a√3

Центр куба делит пространственную диагональ пополам, поэтому:

R = d/2 = a√3/2

Для удобства: при стороне 1 см радиус ≈ 0,866 см; при стороне 10 см – ≈ 8,66 см.

Калькулятор описанной сферы куба

Калькулятор принимает длину стороны куба в любых единицах (мм, см, м) и вычисляет радиус описанной сферы, площадь её поверхности и объём. Все три результата пересчитываются в тех же единицах, что и введённая сторона (объём – в кубических).

Результаты носят справочный характер; для инженерных расчётов проверяйте исходные данные.

Площадь поверхности и объём описанной сферы

Зная радиус R = a√3/2, площадь и объём считаются по стандартным формулам сферы.

Площадь поверхности:

S = 4πR² = 4π · (3a²/4) = 3πa²

Объём:

V = (4/3)πR³ = (4/3)π · (3√3·a³/8) = π√3·a³/2

Пример для куба со стороной a = 6 см:

Куб занимает 216/587,7 ≈ 36,8% объёма описанной сферы – немного меньше трети. Если считать долю иначе (объём куба к объёму сферы), получим 3√3/(2π) ≈ 0,827, то есть около 82,7%. Путаница возникает из-за формулировки: куб составляет ~83% от объёма сферы, а сфера – примерно в 2,72 раза больше куба по объёму.

Как соотносятся три сферы куба

У куба есть три «канонические» сферы – вписанная, средняя и описанная. Все три имеют один центр.

Радиусы трёх сфер относятся как 1 : √2 : √3. Это соотношение постоянно для любого куба и не зависит от его размера.

Описанная сфера больше вписанной ровно в √3 ≈ 1,732 раза. Это означает, что при одинаковой стороне куба объём описанной сферы превышает объём вписанной в (√3)³ = 3√3 ≈ 5,196 раза.

Пример задачи: найти сторону куба по радиусу сферы

Условие. Радиус описанной сферы куба равен 9 см. Найдите сторону куба и объём описанной сферы.

Решение.

Из R = a√3/2 выражаем сторону:

a = 2R/√3 = 2·9/√3 = 18/√3 = 6√3 ≈ 10,39 см

Объём сферы:

V = (4/3)π·R³ = (4/3)π·729 = 972π ≈ 3053,6 см³

Объём куба:

V_куба = a³ = (6√3)³ = 216·3√3 = 648√3 ≈ 1122,4 см³

Куб занимает 1122,4/3053,6 ≈ 36,8% объёма сферы – ровно столько же, сколько и в предыдущем примере: это постоянная величина для куба.

Формула R = a√3/2 – исходная точка для всех расчётов, связанных с описанной сферой куба. Если известна сторона, сразу получаем радиус; если известен радиус – обратная формула a = 2R/√3 даёт сторону. Калькулятор выше автоматизирует оба направления расчёта.