Окружность описанная около треугольника: найти угол
Если треугольник вписан в окружность, его угол можно найти по дуге, центральному углу, радиусу описанной окружности или стороне. Главная идея такая: угол треугольника – это вписанный угол, а сторона напротив него связана с радиусом описанной окружности через теорему синусов.
Как в окружности описанной около треугольника найти угол?
Выберите формулу по тем данным, которые есть в задаче.
| Что известно | Как найти угол |
|---|---|
| Центральный угол \(\angle BOC\), опирающийся на ту же дугу, что и угол \(A\) | \(A = \frac{\angle BOC}{2}\) |
| Дуга \(BC\), на которую опирается угол \(A\) | \(A = \frac{\overset{\frown}{BC}}{2}\) |
| Сторона \(a\), лежащая напротив угла \(A\), и радиус \(R\) | \(A = \arcsin\frac{a}{2R}\) |
| Две другие стороны и сторона напротив угла | по теореме косинусов |
| Два угла треугольника | третий угол: \(180^\circ - A - B\) |
Обозначения стандартные:
- \(A\), \(B\), \(C\) – углы треугольника;
- \(a\), \(b\), \(c\) – стороны напротив этих углов;
- \(R\) – радиус описанной окружности;
- \(O\) – центр описанной окружности.
Калькулятор выше помогает найти угол треугольника, вписанного в окружность, по наиболее частым исходным данным: стороне и радиусу, дуге, центральному углу или сумме двух других углов. В основе расчёта используются теорема о вписанном угле и расширенная теорема синусов.
Формула через центральный угол
Если угол \(A\) треугольника опирается на дугу \(BC\), а центральный угол \(\angle BOC\) опирается на ту же дугу, то:
\[ A = \frac{\angle BOC}{2} \]Это следует из свойства окружности: вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.
Пример
Дан треугольник \(ABC\), вписанный в окружность. Центральный угол \(\angle BOC = 124^\circ\). Найти угол \(A\).
\[ A = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ \]Ответ: угол \(A = 62^\circ\).
Формула через дугу окружности
Если известна градусная мера дуги, на которую опирается угол треугольника, используйте формулу:
\[ A = \frac{\overset{\frown}{BC}}{2} \]Здесь \(\overset{\frown}{BC}\) – дуга между точками \(B\) и \(C\), не содержащая вершину \(A\).
Пример
Дуга \(BC\) равна \(86^\circ\). Нужно найти вписанный угол \(A\).
\[ A = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ \]Ответ: \(43^\circ\).
Как найти угол через радиус описанной окружности и сторону?
Если известны радиус описанной окружности \(R\) и сторона \(a\), лежащая напротив угла \(A\), применяется расширенная теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]Отсюда:
\[ \sin A = \frac{a}{2R} \]\[ A = \arcsin\frac{a}{2R} \]Эта формула работает для любого треугольника, вписанного в окружность.
Пример
Дано:
- сторона \(a = 10\);
- радиус описанной окружности \(R = 8\).
Найдём угол \(A\):
\[ \sin A = \frac{10}{2 \cdot 8} = \frac{10}{16} = 0{,}625 \]\[ A = \arcsin 0{,}625 \approx 38{,}7^\circ \]Ответ: \(A \approx 38{,}7^\circ\).
Но есть важная тонкость: синус одинаков у двух углов, сумма которых равна \(180^\circ\):
\[ \sin 38{,}7^\circ = \sin 141{,}3^\circ \]Поэтому при недостатке данных возможны 2 варианта угла: острый и тупой. Чтобы выбрать правильный, нужны дополнительные сведения о треугольнике: другие стороны, углы или условие задачи.
Когда угол равен 90°?
Угол треугольника, вписанного в окружность, равен \(90^\circ\), если он опирается на диаметр.
То есть если сторона \(BC\) – диаметр описанной окружности, то:
\[ A = 90^\circ \]Это частный случай теоремы о вписанном угле: дуга полуокружности равна \(180^\circ\), значит вписанный угол равен:
\[ \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]Пример
Если \(BC\) – диаметр окружности, а точка \(A\) лежит на окружности, то треугольник \(ABC\) прямоугольный, и прямой угол находится при вершине \(A\).
Как найти угол, если известны стороны треугольника?
Если даны стороны \(a\), \(b\), \(c\), угол можно найти без радиуса – по теореме косинусов:
\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]\[ A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]После этого при необходимости можно проверить связь с описанной окружностью:
\[ R = \frac{a}{2\sin A} \]Пример
Дано:
- \(a = 7\);
- \(b = 8\);
- \(c = 9\).
Ответ: \(A \approx 48{,}2^\circ\).
Как не перепутать угол и сторону
В задачах про описанную окружность чаще всего ошибка возникает из-за неправильного соответствия стороны и угла.
Запомните:
| Угол | Противолежащая сторона |
|---|---|
| \(A\) | \(a = BC\) |
| \(B\) | \(b = AC\) |
| \(C\) | \(c = AB\) |
Если нужно найти угол \(A\), используйте сторону \(BC\), а не одну из сторон, выходящих из вершины \(A\).
Например, в формуле:
\[ A = \arcsin\frac{a}{2R} \]сторона \(a\) – это именно сторона напротив угла \(A\).
Частые ошибки при нахождении угла
Берут не ту дугу.
Угол \(A\) опирается на дугу \(BC\), которая не содержит точку \(A\).Путают центральный и вписанный угол.
Центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну дугу.Забывают про второй возможный угол.
По формуле \(A = \arcsin\frac{a}{2R}\) иногда возможны 2 решения: \(A\) и \(180^\circ - A\).Используют невозможные данные.
Если \(a > 2R\), такого треугольника не существует, потому что сторона не может быть больше диаметра описанной окружности.Смешивают градусы и радианы.
В школьной геометрии углы обычно считают в градусах. Если калькулятор или программа работает в радианах, результат нужно перевести.
Краткий алгоритм
Чтобы найти угол треугольника, вписанного в окружность:
- Определите, какой угол нужен: \(A\), \(B\) или \(C\).
- Найдите противоположную ему сторону или дугу.
- Выберите подходящую формулу:
- через дугу: \(A = \frac{\overset{\frown}{BC}}{2}\);
- через центральный угол: \(A = \frac{\angle BOC}{2}\);
- через радиус и сторону: \(A = \arcsin\frac{a}{2R}\);
- через стороны: \(A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).
- Проверьте, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
- Если получились 2 возможных значения, выберите то, которое подходит по условию задачи.