Обновлено: 25 марта 2026 г.

Объём вписанного куба

Задача «вписать куб в шар» встречается в школьной стереометрии, инженерных расчётах и компьютерной графике. Суть в том, что все восемь вершин куба лежат на поверхности сферы. Зная радиус этой сферы, можно найти ребро куба и его объём – через одну формулу.

Ключевое соотношение: пространственная диагональ и диаметр шара

Когда куб вписан в шар, центры обоих тел совпадают. Каждая вершина куба равноудалена от центра, а значит, лежит на сфере. Расстояние от центра куба до вершины – это половина пространственной диагонали.

Пространственная диагональ куба с ребром a:

$$d = a\sqrt{3}$$

Она равна диаметру описанной сферы:

$$a\sqrt{3} = 2R$$

Отсюда ребро куба через радиус шара:

$$a = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$$

Формула объёма куба, вписанного в шар

Подставляем ребро в стандартную формулу объёма куба V = a³:

$$V = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} = \frac{8R^3\sqrt{3}}{9}$$

Это и есть рабочая формула. Числовой коэффициент удобно запомнить: 8√3 / 9 ≈ 1,5396.

Итоговая формула объёма вписанного куба:

$$\boxed{V = \frac{8\sqrt{3}}{9} \cdot R^3}$$

Расчёты носят справочный характер и предназначены для образовательных целей.

Калькулятор принимает радиус описанной сферы R (в любых единицах длины) и вычисляет ребро куба по формуле a = 2R√3/3, затем объём по V = a³. Результат выводится одновременно в точном (через √3) и приближённом числовом виде. Можно задать радиус от долей миллиметра до тысяч метров – порядок единиц не влияет на логику расчёта, только на масштаб результата.

Пошаговый пример расчёта

Условие: шар радиусом R = 6 см. Найти объём вписанного куба.

Шаг 1. Находим ребро куба:

$$a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}928 \text{ см}$$

Шаг 2. Вычисляем объём:

$$V = (4\sqrt{3})^3 = 64 \times 3\sqrt{3} = 192\sqrt{3} \approx 332{,}6 \text{ см}^3$$

Проверка через основную формулу: V = 8√3/9 × 6³ = 8√3/9 × 216 = 192√3 ✓

Как объём вписанного куба соотносится с объёмом шара

Объём шара: V_шара = 4πR³/3. Подставим и найдём соотношение:

$$\frac{V_\text{куба}}{V_\text{шара}} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \cdot R^3 \div \frac{4\pi R^3}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \times \frac{3}{4\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{3\pi} \approx 0{,}3676$$

Куб занимает около 36,8% объёма шара. Оставшиеся 63,2% – «срезанные» сферические сегменты у каждой вершины.

Частные случаи и обратная задача

Единичная сфера (R = 1):

$$V = \frac{8\sqrt{3}}{9} \approx 1{,}5396$$

Обратная задача – найти R по известному объёму V:

Из V = 8√3 R³/9 выражаем:

$$R = \sqrt[3]{\frac{9V}{8\sqrt{3}}} = \sqrt[3]{\frac{9V\sqrt{3}}{24}} = \sqrt[3]{\frac{3V\sqrt{3}}{8}}$$

Например, если V = 100 см³:

$$R = \sqrt[3]{\frac{3 \times 100 \times 1{,}732}{8}} = \sqrt[3]{64{,}95} \approx 4{,}02 \text{ см}$$

Куб с известным ребром – найти R:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

При a = 10 см: R = 10 × 1,732 / 2 = 8,66 см.

Чем вписанный куб отличается от описанного

Два термина часто путают, хотя означают противоположное:

Конфигурация	Что внутри	Связь с радиусом	Ребро
Куб вписан в шар	куб	вершины на сфере (R – радиус сферы)	a = 2R/√3
Шар вписан в куб	шар	грани касаются сферы (r – радиус шара)	a = 2r

В первом случае шар описан вокруг куба, во втором – вписан в куб. При одинаковом ребре куба радиус описанной сферы всегда больше радиуса вписанной: R = r√3.

Резюме

Формула объёма куба, вписанного в шар, сводится к одному выражению: V = 8√3R³/9. Весь вывод опирается на геометрический факт – пространственная диагональ куба равна диаметру описанной сферы. Зная это, можно восстановить формулу за два шага даже на экзамене без шпаргалки.

Если известен не радиус шара, а ребро куба – используйте обратную связь R = a√3/2, а затем уже считайте объём стандартным способом V = a³.

Часто задаваемые вопросы

Чему равно ребро куба, вписанного в шар радиусом 5 см?

По формуле a = 2R/√3. При R = 5: a = 10/√3 ≈ 5,77 см. Объём такого куба составит около 192,5 см³.

Как найти радиус шара, описанного вокруг куба, если известно ребро?

Радиус описанной сферы R = a√3/2. Например, при ребре 6 см: R = 6 × 1,732/2 ≈ 5,196 см. Эта же формула используется в обратном расчёте объёма вписанного куба.

Чему равно отношение объёма вписанного куба к объёму шара?

Отношение V_куба/V_шара = (8R³√3/9) / (4πR³/3) = 2√3/(3π) ≈ 0,3676. Куб занимает около 36,8% объёма шара, в который он вписан.

В чём разница между вписанным кубом и описанным кубом?

Вписанный куб находится внутри шара: все 8 вершин куба лежат на сфере. Описанный куб охватывает шар снаружи: все 6 граней куба касаются сферы. Это противоположные конфигурации.

Можно ли вписать куб в произвольный цилиндр?

Да, если радиус основания цилиндра r и высота h удовлетворяют условию h = 2r/√2 = r√2. Тогда ребро куба a = r√2, а объём равен a³ = 2r²√2 × r = 2√2 r³.

Что такое пространственная диагональ куба и зачем она нужна в этой задаче?

Пространственная диагональ соединяет две противоположные вершины куба через его центр. Её длина d = a√3. При вписывании куба в шар эта диагональ совпадает с диаметром сферы, что и даёт ключевое соотношение.