Объём призмы, отсекаемой от куба

Если секущая плоскость пересекает три ребра куба, выходящие из одной вершины, она отсекает от него треугольную призму. Найти её объём вручную – значит вычислить среднее арифметическое трёх отрезков и умножить на площадь грани куба. Но на практике проще использовать готовый алгоритм или калькулятор, чтобы не запутаться в пропорциях.

Как устроена отсекаемая призма

Представьте куб со стороной $a$. Выберите любую вершину – пусть это будет начало координат. От неё отходят три ребра длиной $a$, расположенные вдоль осей $x$, $y$ и $z$.

Если провести плоскость, пересекающую эти три ребра в точках на расстояниях $h_1$, $h_2$ и $h_3$ от вершины, она образует треугольное сечение. Часть куба между этой плоскостью и тремя гранями – и есть отсекаемая треугольная призма.

Ключевое свойство: основание такой призмы – прямоугольный треугольник с катетами $h_1$ и $h_2$ (если смотреть вдоль третьего ребра), а высота зависит от $h_3$. Но проще считать через усреднённую высоту.

Формула объёма

Объём отсекаемой от куба призмы вычисляется по формуле прямой призмы с треугольным основанием:

где $S_{осн}$ – площадь треугольного сечения, а $h_{ср}$ – среднее арифметическое трёх отрезков $h_1$, $h_2$, $h_3$.

Однако на практике удобнее использовать производную формулу через сторону куба:

где $k$ – коэффициент, зависящий от геометрии (для стандартной задачи с тремя перпендикулярными отрезками формула упрощается до $V = \frac{1}{6} \cdot h_1 \cdot h_2 \cdot h_3$ при условии, что основание – прямоугольный треугольник).

Более надёжный способ: рассчитать объём как произведение площади основания (прямоугольного треугольника с катетами $h_1$ и $h_2$) на среднюю высоту $\frac{h_3}{2}$:

Эта формула работает, когда секущая плоскость отсекает три ребра куба, выходящие из одной вершины, на расстояниях $h_1$, $h_2$, $h_3$.

Калькулятор объёма отсекаемой призмы

Чтобы не производить вычисления вручную, используйте калькулятор ниже. Введите длины трёх отрезков, на которые секущая плоскость отсекает рёбра куба от общей вершины.

Калькулятор работает по формуле $V = \frac{h_1 \cdot h_2 \cdot h_3}{6}$. Он автоматически проверяет, что введённые значения не превышают длину стороны куба (если вы задаёте её отдельно), и выдаёт результат в кубических сантиметрах или метрах с точностью до трёх знаков после запятой.

Примеры решения задач

Задача 1: Классическая отсечение трёх рёбер

Условие: От вершины куба со стороной 6 см проведена секущая плоскость, пересекающая три ребра, выходящие из этой вершины, на расстояниях 2 см, 3 см и 4 см от неё. Найдите объём отсекаемой призмы.

Решение: Используем формулу $V = \frac{h_1 \cdot h_2 \cdot h_3}{6}$.

Подставляем значения: $V = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6} = \frac{24}{6} = 4$ см³.

Ответ: 4 см³.

Проверка: Объём оставшейся части куба – $216 - 4 = 212$ см³. Логически отсекаемая часть – маленькая «уголковая» призма, 4 см³ выглядит правдоподобно.

Задача 2: Обратная задача – нахождение расстояния

Условие: Секущая плоскость отсекает от куба со стороной 10 см призму объёмом 50 см³. Плоскость пересекает два ребра на расстоянии 5 см и 6 см от вершины. Найдите расстояние до точки пересечения третьего ребра.

Решение: Из формулы $V = \frac{h_1 \cdot h_2 \cdot h_3}{6}$ выразим $h_3$:

$h_3 = \frac{6V}{h_1 \cdot h_2}$

Подставляем: $h_3 = \frac{6 \cdot 50}{5 \cdot 6} = \frac{300}{30} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

Это означает, что секущая плоскость проходит через противоположную вершину ребра, образуя треугольное сечение, одна из вершин которого совпадает с вершиной куба, диагонально противоположной исходной.

Задача 3: Проверка принадлежности точки кубу

Условие: Может ли секущая плоскость отсекать рёбра куба со стороной 8 см на расстояниях 3 см, 9 см и 4 см от вершины?

Решение: Проверяем условие $h_i \leq a$ для всех $i$.

Здесь $h_2 = 9$ см, а $a = 8$ см.

$9 > 8$, следовательно, точка пересечения лежит за пределами ребра куба.

Ответ: Нет, такая плоскость не может образовать отсекаемую призму внутри данного куба. Она пересечёт продолжение ребра за пределами фигуры.

Частные случаи и обобщения

Прямоугольное сечение: Если секущая плоскость параллельна одной из граней куба, отсекаемая фигура – прямоугольный параллелепипед (прямая призма). Формула упрощается до $V = h_1 \cdot h_2 \cdot a$, где $a$ – сторона куба, а $h_1, h_2$ – размеры основания.

Равноотстающая плоскость: При $h_1 = h_2 = h_3 = h$ сечение представляет собой равносторонний треугольник. Объём вычисляется как $V = \frac{h^3}{6}$. Это частный случай, часто встречающийся в задачах на симметрию.

Связь с тетраэдром: Отсекаемая призма содержит в себе тетраэдр с вершиной в углу куба и основанием – треугольным сечением. Объём этого тетраэдра равен $\frac{1}{3}$ от объёма призмы, что следует из формулы объёма пирамиды.

Когда применяется расчёт

Задачи на отсекаемую призму встречаются в курсах стереометрии 10–11 классов, на вступительных экзаменах в технические вузы и в инженерной практике при расчёте объёмов вырезовов, фасок и соединительных элементов в деталях кубической формы.

Для проверки домашних заданий или инженерных расчётов используйте калькулятор выше – он мгновенно вычислит объём по трём заданным отрезкам, исключая арифметические ошибки при ручном счёте.

Информация предоставлена в справочных целях. При решении контрольных работ рекомендуется приводить полное математическое обоснование формулы.