Объём призмы, отсекаемой от куба плоскостью

Когда плоскость пересекает куб, она делит его на две части. Одна из этих частей – призма, объём которой часто требуется найти в задачах по стереометрии. Разберём, как это сделать.

Что такое призма, отсекаемая от куба

При пересечении куба плоскостью получается два многогранника. Если плоскость проходит через три ребра, выходящие из одной вершины, то отсекаемая часть – треугольная призма. Её основаниями служат треугольники: один лежит на грани куба, второй образован сечением.

Призма называется отсекаемой, потому что она «отрезается» от основного объёма куба секущей плоскостью. Оставшаяся часть куба – тоже многогранник, но более сложной формы.

Калькулятор выше рассчитывает объём треугольной призмы для типичного случая: плоскость проходит через три точки на рёбрах, выходящих из одной вершины куба. Введите ребро куба и расстояния от вершины до точек пересечения.

Какие фигуры образуются при сечении куба

Форма отсекаемой призмы зависит от того, какие грани пересекает плоскость:

Треугольная призма – плоскость пересекает три грани, выходящие из одной вершины. Сечение представляет собой треугольник.

Четырёхугольная призма – плоскость пересекает четыре грани. Сечение – четырёхугольник (трапеция или параллелограмм).

Пятиугольная призма – плоскость пересекает пять граней. Встречается реже, сечение – пятиугольник.

В задачах ЕГЭ и учебных примерах чаще всего рассматривают именно треугольную призму – это классический случай.

Формула объёма призмы

Объём любой призмы вычисляется по формуле:

где $S_{осн}$ – площадь основания, $h$ – высота призмы.

Для треугольной призмы, отсекаемой от куба:

• Основание – прямоугольный треугольник на грани куба
• Высота – ребро куба, перпендикулярное этому основанию

Если плоскость проходит через точки на трёх рёбрах $AB$, $AD$ и $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$, и расстояния от вершины $A$ до точек пересечения равны $x$, $y$ и $z$, то объём призмы:

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $x$ и $y$ равна $\frac{xy}{2}$, а высота призмы – $z$.

Как найти объём: методы решения

Метод 1: через площадь основания и высоту

Этот подход подходит, когда сечение и грани призмы легко описать.

Алгоритм:

1. Определите форму основания призмы
2. Найдите площадь основания
3. Определите высоту призмы
4. Умножьте площадь на высоту

Пример. Дан куб с ребром 4. Плоскость проходит через середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Найти объём отсекаемой призмы.

Решение:

• Точки пересечения находятся на расстоянии 2 от вершины (середины рёбер)
• Основание – прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2
• Площадь основания: $S = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$
• Высота призмы: $h = 2$
• Объём: $V = 2 \cdot 2 = 4$

Метод 2: через объём оставшейся части

Если найти объём отсекаемой призмы сложно, можно:

1. Вычислить объём всего куба: $V_{куб} = a^3$
2. Найти объём оставшейся части
3. Вычесть из объёма куба: $V_{призмы} = V_{куб} - V_{остатка}$

Этот метод удобен, когда оставшаяся часть – правильный многогранник (например, пирамида).

Метод 3: метод координат

Для сложных случаев используйте аналитическую геометрию:

1. Поместите куб в систему координат
2. Запишите уравнение секущей плоскости
3. Найдите точки пересечения с рёбрами
4. Вычислите объём через смешанное произведение векторов или формулу объёма тетраэдра

Типичная задача: плоскость через три точки на рёбрах

Рассмотрим стандартную задачу, которая часто встречается в учебниках и на экзаменах.

Задача. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6. Плоскость проходит через точки $K$, $L$, $M$, где $K$ – середина $AB$, $L$ лежит на $AD$ так, что $AL : LD = 1 : 2$, $M$ – середина $AA_1$. Найти объём отсекаемой призмы.

Решение.

Шаг 1. Определим расстояния от вершины $A$ до точек:

• $AK = \frac{6}{2} = 3$ (середина ребра)
• $AL = \frac{6}{3} = 2$ (отношение 1 : 2)
• $AM = \frac{6}{2} = 3$ (середина ребра)

Шаг 2. Основание призмы – прямоугольный треугольник $AKL$ на грани $ABCD$:

Шаг 3. Высота призмы – расстояние по ребру $AA_1$:

Шаг 4. Объём призмы:

Ответ: 9.

Диагональное сечение куба

Особый случай – когда плоскость проходит через диагональ куба. Такое сечение делит куб на две равные треугольные призмы.

Объём каждой призмы при диагональном сечении:

где $a$ – ребро куба.

Это следует из того, что сечение проходит через центр куба и делит его на две равные части.

Другие распространённые конфигурации

Плоскость параллельна диагональному сечению

Если плоскость параллельна диагональному сечению, отсекаемая часть – тоже треугольная призма. Её объём пропорционален расстоянию от секущей плоскости до грани куба.

Плоскость проходит через противоположные рёбра

Когда плоскость проходит через два параллельных ребра, сечение – прямоугольник. Отсекаемая часть – четырёхугольная призма с прямоугольным основанием.

Объём в этом случае:

где $a$ и $b$ – стороны прямоугольника в сечении, $c$ – расстояние между сечением и параллельной гранью.

Практические советы

1. Рисуйте чертёж. В стереометрии без наглядного изображения легко ошибиться в расположении точек и граней.

2. Проверяйте размерность. Объём измеряется в кубических единицах. Если ребро в сантиметрах, объём – в см³.

3. Используйте отношение объёмов. Если две призмы имеют одинаковую высоту, отношение их объёмов равно отношению площадей оснований.

4. Помните про свойства куба. Все рёбра равны, грани – квадраты, диагонали равны. Это упрощает многие вычисления.

5. Для ЕГЭ. В задачах экзамена чаще всего нужно найти объём призмы, отсекаемой плоскостью, проходящей через точки на рёбрах с заданными отношениями. Отработайте этот тип задач.

Объём призмы, отсекаемой от куба плоскостью, находится через площадь основания и высоту. Главное – правильно определить форму сечения и взаимное расположение элементов. Для типичных случаев формула $\frac{xyz}{2}$ даёт быстрый ответ, где $x$, $y$, $z$ – расстояния от вершины до точек пересечения плоскости с рёбрами.