Объем правильной треугольной призмы — формулы и расчет онлайн

Что такое объем правильной треугольной призмы

Правильная треугольная призма — это призма, у которой:

• основание — правильный (равносторонний) треугольник;
• боковые ребра перпендикулярны основанию (призма прямая).

Объем такой призмы показывает, какой «пространственный размер» занимает тело, и измеряется в кубических единицах: м³, см³ и т.п. Для вычисления объема достаточно знать геометрические размеры основания и высоту призмы.

Основная формула объема правильной треугольной призмы

Для любой призмы справедлива базовая формула:

где

• \( V \) — объем призмы;
• \( S\_{\text{осн}} \) — площадь основания;
• \( h \) — высота призмы (расстояние между основаниями).

Для правильной треугольной призмы основание — равносторонний треугольник со стороной \( a \). Его площадь:

Подставляем в формулу объема:

Итоговая формула:

где

• \( a \) — сторона правильного треугольника-основания;
• \( h \) — высота призмы (длина бокового ребра у правильной призмы).

Как пользоваться онлайн‑калькулятором объема

Онлайн‑калькулятор по объему правильной треугольной призмы обычно просит ввести два параметра:

1. Сторона основания \( a \)
   Введите длину стороны треугольника (например, 5 см, 2 м и т.п.).

2. Высота призмы \( h \)
   Это расстояние между основаниями. Для правильной призмы совпадает с длиной бокового ребра.

Дальше калькулятор автоматически:

• находит площадь треугольника по формуле \( S = a^2 \sqrt{3} / 4 \);
• умножает ее на высоту \( h \);
• выдает результат в кубических единицах, соответствующих вашей системе (м³, см³ и т.д.).

Важно: все входные данные должны быть в одной системе единиц. Не смешивайте, например, сантиметры и метры в одном расчете.

Пошаговый ручной расчет

Разберем алгоритм расчета объема без калькулятора:

1. Определите, что треугольник действительно правильный.
   Все три стороны основания равны: \( a = b = c \).

2. Вычислите площадь основания.
   Используем формулу для правильного треугольника:

   \[ S\_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. \]

3. Убедитесь, что известна высота призмы \( h \).
   Для правильной прямой призмы это длина любого бокового ребра.

4. Найдите объем.
   

   \[ V = S\_{\triangle} \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h. \]

5. Проверьте размерность.
   Если \( a \) и \( h \) в сантиметрах, объем получается в см³; если в метрах, то в м³.

Числовой пример

Задача: найти объем правильной треугольной призмы со стороной основания \( a = 6 \text{ см} \) и высотой \( h = 10 \text{ см} \).

1. Площадь основания:

   \[ S\_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2. \]

2. Объем:

   \[ V = S\_{\triangle} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3} \text{ см}^3. \]

3. Приближенно, \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\):

   \[ V \approx 90 \cdot 1{,}732 \approx 155{,}9 \text{ см}^3. \]

Ответ: объем призмы ≈ 156 см³ (если округлить до целых).

Частые ошибки и как их избежать

1. Путаница между правильным и прямоугольным треугольником

«Правильный треугольник» — это равносторонний, а не прямоугольный.
Если треугольник прямоугольный, но не равносторонний, формула площади другая:

где \( a \) и \( b \) — катеты. Тогда объем:

2. Неверное понимание высоты призмы

Высота призмы — это перпендикулярное расстояние между основаниями, а не обязательно длина наклонного ребра.
У правильной призмы высота = боковое ребро, у наклонной — нет.

3. Смешение единиц измерения

Типичная ошибка: \( a = 5 \text{ см} \), \( h = 2 \text{ м} \).
Перед расчетом переведите в одну систему:

• либо 2 м = 200 см,
• либо 5 см = 0,05 м.

4. Ошибки с корнем из трех

Используйте приближение:

Не путайте с \(\sqrt{2}\) или \(\sqrt{5}\), и не сокращайте слишком грубо (например, до 1,7), если нужна точность.

Дополнительные формулы и преобразования

Иногда в задачах объем правильной треугольной призмы выражают иначе:

• Через площадь основания:

  \[ V = S\_{\text{осн}} \cdot h. \]

• Через высоту треугольника основания \( h*{\triangle} \):
  если известна сторона \( a \) и высота треугольника \( h*{\triangle} \),

  \[ S*{\triangle} = \frac{1}{2} a h*{\triangle}, \quad V = \frac{1}{2} a h\_{\triangle} \cdot h. \]

• Через ребро и площадь боковой грани (для проверки):
  если известна боковая грань в виде прямоугольника с основанием \( a \) и высотой \( h \), ее площадь \( S\_{\text{бок}} = a \cdot h \). Тогда можно косвенно проверить расчет, зная и другие параметры фигуры.

Как проверить результат

1. Оцените порядок величины.
   Если все длины порядка 10 см, ожидайте объем порядка сотен или тысяч см³, но не миллионы и не десятые доли см³.

2. Сравните с объёмом простого параллелепипеда.
   Объем призмы должен быть меньше объема «обрамляющего» прямоугольного параллелепипеда со сторонами \( a, a, h \).

3. Подставьте в онлайн‑калькулятор.
   Введите те же данные и сравните результаты. При расхождении проверьте шаги и вычисления корня.

Используйте эти формулы и алгоритм вместе с онлайн‑калькулятором объема правильной треугольной призмы, чтобы быстро решать учебные и практические задачи и надежно проверять свои решения.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.