Объем правильной треугольной пирамиды: формула и онлайн расчет

Читайте, как быстро рассчитать объем правильной треугольной пирамиды. В статье собраны основные формулы, методы вычисления через различные параметры и пошаговые примеры решений для школьников и студентов.

Обновлено:

Содержание статьи
Параметры расчета


Размеры



Длина стороны равностороннего треугольника в основании.



Перпендикуляр от вершины к центру основания.

Правильная треугольная пирамида — одна из ключевых фигур в стереометрии, часто встречающаяся как в школьных задачах (ЕГЭ, ОГЭ), так и в инженерных расчетах. Понимание того, как вычислить её объем, необходимо для решения множества геометрических проблем. На этой странице мы разберем все способы расчета: от классических формул до частных случаев.

Что такое правильная треугольная пирамида?

Прежде чем переходить к расчетам, важно четко определить фигуру. Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого:

  1. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
  2. Вершина пирамиды проецируется точно в центр основания (точку пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника).
  3. Все боковые ребра равны между собой.
  4. Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Важно не путать эту фигуру с правильным тетраэдром, у которого все грани, включая основание, равны между собой. Тетраэдр — это частный случай правильной пирамиды.

Основные формулы расчета объема

Базовая формула для любой пирамиды звучит так: объем равен одной трети произведения площади основания на высоту.

$$ V = \frac{1}{3} S\_{осн} \cdot h $$

Поскольку в основании правильной пирамиды лежит равносторонний треугольник, мы можем конкретизировать эту формулу, используя параметры фигуры.

1. Через сторону основания и высоту

Это самый распространенный способ расчета. Если известна длина стороны основания ($a$) и высота пирамиды ($h$), формула принимает следующий вид:

$$ S\_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$

Подставляем это в формулу объема:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2 h \sqrt{3}}{12} $$

Где:

2. Для правильного тетраэдра

Если перед вами правильный тетраэдр (все ребра равны $a$), формула значительно упрощается, так как высота жестко привязана к длине ребра:

$$ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} $$

Расчет, если высота неизвестна

На практике высота ($h$) дана не всегда. Часто в условиях задач фигурируют боковое ребро или апофема. В таких случаях высоту нужно вычислить предварительно, используя теорему Пифагора.

Через сторону основания и боковое ребро

Пусть известно боковое ребро $b$ и сторона основания $a$. Высота пирамиды падает в центр описанной окружности основания. Радиус этой окружности ($R$) для равностороннего треугольника равен:

$$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), радиусом ($R$) и боковым ребром ($b$). По теореме Пифагора:

$$ h = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} $$

Найденное значение $h$ подставляем в основную формулу объема.

Через сторону основания и апофему

Апофема ($L$) — это высота боковой грани (равнобедренного треугольника). Высота пирамиды падает в центр вписанной окружности. Радиус вписанной окружности ($r$) равен:

$$ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), радиусом ($r$) и апофемой ($L$). По теореме Пифагора:

$$ h = \sqrt{L^2 - r^2} = \sqrt{L^2 - \frac{a^2}{12}} $$

Алгоритм решения задач

Чтобы не запутаться в вычислениях, следуйте простому алгоритму:

  1. Определите известные величины. (Сторона $a$, высота $h$, боковое ребро $b$, апофема $L$).
  2. Найдите площадь основания. Для правильного треугольника это всегда $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
  3. Найдите высоту $h$. Если она не дана, выразите её через прямоугольные треугольники внутри пирамиды (используя $R$ или $r$).
  4. Подставьте значения в формулу: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$.
  5. Проверьте размерность. Ответ должен быть в кубических единицах (см³, м³).

Примеры расчета

Разберем несколько типовых задач, чтобы закрепить материал.

Пример 1: Классический расчет

Дано: Сторона основания правильной треугольной пирамиды $a = 6$ см, высота $h = 10$ см. Найти: Объем $V$.

Решение:

  1. Используем итоговую формулу: $$ V = \frac{6^2 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}}{12} $$
  2. Считаем квадрат стороны: $36$.
  3. Подставляем: $$ V = \frac{36 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}}{12} = \frac{360 \sqrt{3}}{12} $$
  4. Сокращаем: $$ V = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^3 $$

Ответ: $30\sqrt{3}$ см³.

Пример 2: Известно боковое ребро

Дано: Сторона основания $a = 3$ м, боковое ребро $b = 2$ м. Найти: Объем $V$.

Решение:

  1. Найдем радиус описанной окружности основания $R$: $$ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$
  2. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора ($h^2 + R^2 = b^2$): $$ h = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1 \text{ м} $$
  3. Считаем площадь основания: $$ S\_{осн} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} $$
  4. Считаем объем: $$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{4} = 0.75\sqrt{3} \approx 1.3 \text{ м}^3 $$

Ответ: $0.75\sqrt{3}$ м³.

Где это применяется?

Понимание того, как находить объем пирамиды, важно не только для экзаменов.

Частые ошибки при вычислениях

  1. Путаница высот. Самая частая ошибка — использование апофемы (высоты боковой грани) вместо высоты самой пирамиды в формуле объема. Помните: для объема нужна именно вертикальная высота $h$.
  2. Забытый коэффициент 1/3. В отличие от призмы, объем пирамиды всегда содержит множитель $1/3$.
  3. Неправильный радиус. При поиске высоты через боковое ребро используется радиус описанной окружности ($R$), а через апофему — радиус вписанной ($r$).
  4. Единицы измерения. Всегда приводите все длины к одной единице измерения (например, только в метры или только в сантиметры) перед началом расчетов.

Используйте наш онлайн-калькулятор в начале страницы, чтобы мгновенно проверить свои вычисления или получить ответ для сложных значений.

Часто задаваемые вопросы

Чему равен объем правильной треугольной пирамиды?

Объем равен одной трети произведения площади основания на высоту (V = 1/3 · S · h). Для правильной пирамиды со стороной основания a и высотой h формула выглядит так: V = (a² · h) / (4 · √3).

Как найти высоту правильной треугольной пирамиды?

Если известны боковое ребро (b) и сторона основания (a), высоту (h) можно найти по теореме Пифагора через радиус описанной окружности (R): h = √(b² - R²), где R = a / √3.

Чем отличается правильная треугольная пирамида от тетраэдра?

У правильной треугольной пирамиды основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — равнобедренные. У правильного тетраэдра все 4 грани (включая основание) — равносторонние треугольники.

Как найти объем, если известна только сторона основания и апофема?

Сначала нужно найти высоту пирамиды. Зная апофему (l) и радиус вписанной окружности основания (r = a / 2√3), вычисляем высоту по формуле h = √(l² - r²), а затем подставляем ее в основную формулу объема.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.