Объем пирамиды онлайн

Назначение и что считает калькулятор

Объем пирамиды — это величина пространства внутри геометрического тела с многоугольным основанием и вершиной. Наш калькулятор считает V по базовой формуле V = Sосн · h / 3 и дополнительным наборам данных: по стороне и числу сторон правильного n-угольника, по апофеме, периметру, боковому ребру, а также дает подсказки по единицам и проверке результата.

Подходит для школьных и вузовских задач, инженерных проверок, расчета материалов (например, насыпи) и быстрой сверки ответов.

Как пользоваться

1. Выберите тип основания: треугольник, квадрат, правильный n‑угольник или произвольный многоугольник.
2. Укажите известные параметры:
   • Основание и высота: площадь основания Sосн и высота h.
   • Правильная пирамида: сторона a и число сторон n; при необходимости — высота h, апофема l, периметр P, боковое ребро e.
3. Выберите единицы (мм, см, м); калькулятор автоматически приведет их.
4. Нажмите «Рассчитать» — получите объем, пошаговую формулу и промежуточные значения.

Совет: если данных не хватает, переключитесь на альтернативную схему ввода (например, вместо h используйте l и P).

Формулы и обозначения

• Базовая формула: V = Sосн · h / 3.
• Основание треугольник: S = 1/2 · a · b · sin(γ) или по Герону S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p — полупериметр.
• Основание квадрат: S = a².
• Правильный n‑угольник: S = n·a² / (4·tan(π/n)); периметр P = n·a.
• Правильная пирамида:
  • Через a, n и h: V = [n·a²·h] / [12·tan(π/n)].
  • Через апофему l: r = a/[2·tan(π/n)], h = √(l² − r²), V = S·h/3.
  • Через периметр P и l: r = P/[2n·tan(π/n)], S = (P·r)/2, h = √(l² − r²), V = (P·r·h)/3.
  • Через боковое ребро e: R = a/[2·sin(π/n)], h = √(e² − R²), далее V = S·h/3.

Где r — радиус вписанной окружности основания, R — радиус описанной окружности основания, l — апофема (наклонная высота грани).

Примеры расчетов

• По S и h: дано Sосн = 12 см², h = 9 см. Объем пирамиды V = 12·9/3 = 36 см³.
• Квадратная пирамида: a = 4 см, h = 10 см. Sосн = 16 см², V = 16·10/3 ≈ 53,33 см³.
• Правильная шестиугольная пирамида: a = 8 см, h = 15 см. S = 6·8² / (4·tan(π/6)) = 384 / (4·1/√3) = 384 / (4/1.732) ≈ 166,3 см²; V ≈ 166,3·15/3 ≈ 831,5 см³.

Проверка здравого смысла: при масштабировании всех длин в k раз объем растет в k³ раз.

Алгоритм и проверка результата

• Найдите высоту h как перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Для правильной пирамиды это просто: h выражается через l, e, r или R по теореме Пифагора.
• Корректно найдите Sосн:
  • Для треугольника — по двум сторонам и углу или по Герону.
  • Для правильного многоугольника — по формуле через a и n или через периметр P и r: S = (P·r)/2.
• Сведите единицы: если длины в метрах, площадь — в м², высота — в м, тогда объем в м³.
• Оцените результат: V должно быть положительным; при нулевой высоте объем 0.

Крайние случаи и ограничения

• Если вершина лежит в плоскости основания (h = 0), объем равен 0.
• Нет единой формулы по трем ребрам произвольной пирамиды — нужны либо Sосн и h, либо координаты, либо параметры правильности.
• Для неправильных оснований сложной формы сначала вычисляйте Sосн численно (разбиение на треугольники или метод координат).

Частые ошибки

• Путают высоту h с апофемой l (наклонной высотой). h всегда перпендикулярна плоскости основания.
• Подставляют периметр P вместо площади Sосн в формулу V = Sосн·h/3.
• Смешивают единицы (см и м) — приводите все к одной системе.
• Используют R вместо r в формуле через апофему; для h из l нужно r (вписанный радиус).

Конверсия единиц

• 1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³.
• При переводе: умножьте/разделите длины, затем пересчитайте площади (квадрат) и объем (куб).

Где применить

• Учебные задачи по геометрии и стереометрии.
• Оценка объема насыпи, карьера, бетонных конусовидных элементов (аппроксимация пирамидой).
• Проверка 3D‑моделей и расчетов в САПР.

Итоги

Объем пирамиды удобно считать через Sосн и h или через параметры правильной пирамиды. Соблюдайте формулы, единицы и геометрию — и получите точный ответ за секунды.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.