Обновлено:

Объем многогранника правильной призмы: как рассчитать

Объем многогранника правильной призмы — это величина, показывающая, какой объем пространства занимает призма с правильным многоугольником в основании. На этой странице вы получите формулы, понятный алгоритм расчета и готовые примеры. Материал полезен школьникам, студентам и всем, кто регулярно решает задачи по геометрии.

Содержание статьи

Введите размеры правильной призмы: сторону основания, высоту и при необходимости число сторон основания. Все длины указывайте в одних единицах.

Тип правильного основания Выберите тип основания, который дан в задаче.
Числовые параметры Длина стороны правильного многоугольника, например 4 или 6.5. Заполняйте только для варианта «правильный n‑угольник». Расстояние между основаниями призмы (в тех же единицах, что и a). Объем будет рассчитан в кубических единицах, например см³ или м³.
Дополнительные настройки Рекомендуется 2–4 знака для школьных задач. Помогает фиксировать условия задачи во времени.

Что такое объем многогранника правильной призмы

Призма — это многогранник, у которого два равных и параллельных основания и несколько боковых граней-параллелограммов. Если основанием является правильный многоугольник (все стороны и углы равны), то такую фигуру называют правильной призмой.

Объем многогранника правильной призмы показывает, какой «объем пространства» она занимает. В задачах по геометрии обычно требуется найти объем по заданным размерам основания и высоте.

Ключевая идея: объем любой призмы, в том числе правильной, равен произведению площади основания на высоту.

Основная формула объема правильной призмы

Базовая формула:

\[ V = S\_{\text{осн}} \cdot h, \]

где

Эта формула одинакова для треугольных, четырехугольных, шестиугольных и любых других правильных призм.

Площадь основания правильной призмы

Главная сложность при вычислении объема многогранника правильной призмы — правильно найти площадь основания. Рассмотрим типичные случаи.

Правильная треугольная призма

Основание — правильный треугольник со стороной \(a\).

Площадь основания:

\[ S\_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. \]

Объем:

\[ V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h. \]

Правильная четырехугольная призма (куб и прямой параллелепипед)

Если основание — квадрат со стороной \(a\):

\[ S\_{\text{осн}} = a^2, \quad V = a^2 \cdot h. \]

Отдельный частный случай — куб, где все ребра равны: \(a = h\), тогда

\[ V = a^3. \]

Правильная шестиугольная призма

Основание — правильный шестиугольник со стороной \(a\).

Известная формула:

\[ S\_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \quad V = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \cdot h. \]

Общая формула для правильного n-угольника

Если основание — правильный n-угольник с длиной стороны \(a\), то

\[ S\_{\text{осн}} = \frac{n a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}, \]

и объем многогранника правильной призмы:

\[ V = \frac{n a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \cdot h. \]

Как пользоваться онлайн‑калькулятором объема правильной призмы

Чтобы быстро вычислить объем многогранника правильной призмы, удобнее всего использовать онлайн‑калькулятор:

  1. Выберите тип основания:
    • треугольник;
    • четырехугольник (квадрат);
    • шестиугольник;
    • или «правильный n-угольник».
  2. Введите известные параметры:
    • сторону основания \(a\);
    • число сторон \(n\) (если нужно);
    • высоту призмы \(h\).
  3. Убедитесь, что все значения заданы в одних единицах (например, все в сантиметрах).
  4. Нажмите «Рассчитать» — калькулятор автоматически:
    • найдет площадь основания;
    • умножит ее на высоту;
    • покажет объем в кубических единицах (см³, м³ и т.д.).

Онлайн‑расчет помогает избежать ошибок в формулах и округлениях, особенно при работе с корнями и тригонометрическими функциями.

Пример расчета объема правильной призмы

Пример 1. Правильная треугольная призма

Дано: правильная треугольная призма, сторона основания \(a = 6\ \text{см}\), высота \(h = 10\ \text{см}\).
Найти объем.

  1. Площадь основания: \[ S\_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\ \text{см}^2. \]
  2. Объем: \[ V = S\_{\text{осн}} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}\ \text{см}^3 \approx 155{,}9\ \text{см}^3. \]

Ответ: \(V \approx 156\ \text{см}^3\) (с округлением).

Пример 2. Правильная шестиугольная призма

Дано: правильная шестиугольная призма, сторона основания \(a = 4\ \text{см}\), высота \(h = 12\ \text{см}\).
Найти объем многогранника правильной призмы.

  1. Площадь основания: \[ S\_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}\ \text{см}^2. \]
  2. Объем: \[ V = S\_{\text{осн}} \cdot h = 24\sqrt{3} \cdot 12 = 288\sqrt{3}\ \text{см}^3 \approx 498{,}3\ \text{см}^3. \]

Ответ: \(V \approx 498\ \text{см}^3\).

Типичные ошибки при вычислении объема призмы

  1. Смешение единиц измерения.
    Например, сторона основания в сантиметрах, а высота в метрах. Перед расчетом обязательно переведите все в одни единицы.

  2. Неверная формула площади основания.
    Часто путают формулы для треугольника и шестиугольника или забывают множитель \(\sqrt{3}\). Всегда перепроверяйте вид многоугольника.

  3. Подстановка диагоналей вместо сторон.
    Если в задаче дано диагональное ребро или диагональ грани, сначала выразите по ним сторону основания или высоту, и только затем считайте объем.

  4. Ошибки округления.
    При вычислениях с корнями и тригонометрией лучше:

    • делать промежуточные вычисления с 3–4 знаками после запятой;
    • округлять только в конце.

Полезные советы и краткий алгоритм

Чтобы надежно находить объем многогранника правильной призмы в задачах:

  1. Определите тип основания: треугольник, квадрат, шестиугольник, общий n-угольник.
  2. Запишите подходящую формулу для площади этого правильного многоугольника.
  3. Подставьте численные значения, вычислите \(S\_{\text{осн}}\).
  4. Убедитесь, что высота \(h\) измерена в тех же единицах, что и стороны основания.
  5. Найдите объем по формуле \(V = S\_{\text{осн}} \cdot h\).
  6. Сравните результат с оценкой «на глаз» (например, соизмеримо ли с кубом похожих размеров) и при необходимости проверьте расчет онлайн‑калькулятором.

Следуя этому алгоритму и используя онлайн‑калькулятор, вы сможете быстро и без ошибок находить объем любой правильной призмы в школьных и вступительных задачах.

Часто задаваемые вопросы

Как найти объем правильной призмы по площади основания и высоте?

Используйте базовую формулу: V = S_осн · h, где S_осн — площадь правильного n-угольника в основании, h — высота призмы. Достаточно умножить эти два значения в одинаковых единицах.

Какая формула объема правильной треугольной призмы через сторону основания и высоту?

Для правильной треугольной призмы: S_осн = a²√3 / 4, затем V = S_осн · h. Итого V = a²√3 · h / 4, где a — сторона треугольника, h — высота призмы.

Как найти объем правильной шестиугольной призмы по стороне основания и высоте?

У правильного шестиугольника S_осн = 3√3 · a² / 2. Тогда объем: V = 3√3 · a² · h / 2, где a — сторона основания, h — высота правильной призмы.

Что делать, если известна только площадь боковой поверхности правильной призмы и высота?

Сначала найдите периметр основания: S_бок = P_осн · h ⇒ P_осн = S_бок / h. Далее из периметра выразите сторону многоугольника, по ней найдите площадь основания и подставьте в V = S_осн · h.

Как проверить, правильно ли посчитан объем многогранника правильной призмы?

Проверьте единицы измерения (все в см, м и т.д.), корректность формулы площади основания и пересчитайте результат другим способом (через калькулятор или разложение на треугольники). Результат должен совпадать с точностью до округления.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.