Объем конуса

Что такое объем конуса и зачем он нужен

Объем конуса — это количество пространства внутри фигуры с круговым основанием и вершиной. Он применяется в расчетах емкостей (воронки, силосы), в проектировании, в учебных задачах и при переводах единиц (литры ↔ кубические сантиметры). Зная 2–3 параметра (радиус, высота, диаметр, площадь основания, образующая), объем можно быстро вычислить.

Формулы объема конуса

• Базовая формула: V = 1/3 · π · r² · h, где r — радиус основания, h — высота (перпендикуляр к основанию).
• Через диаметр: V = (π · d² · h) / 12, где d = 2r.
• Через площадь основания S: V = 1/3 · S · h, где S = π · r².
• Если известны образующая l и радиус r: сначала h = √(l² − r²), затем V = 1/3 · π · r² · h.
• Если известны образующая l и диаметр d: h = √(l² − (d/2)²), дальше как обычно.

Для приближенных расчетов используйте π ≈ 3.14159265 (или 3.14 при грубом округлении).

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите известные параметры: r и h; либо d и h; либо S и h; либо l и r.
2. Введите числа в согласованных единицах (например, все в см или все в м).
3. Укажите требуемые единицы результата (см³, м³, литры).
4. Нажмите «Рассчитать» и получите объем, а также промежуточные вычисления и округление.

Совет: если у вас измерен диаметр, не забудьте перевести его в радиус r = d/2.

Примеры расчета

• Пример 1 (по r и h): r = 4 см, h = 9 см.
  V = 1/3 · π · 4² · 9 = 1/3 · π · 144 = 48π ≈ 150.80 см³ (при π ≈ 3.1416).

• Пример 2 (по d и l): d = 10 см → r = 5 см, l = 13 см.
  h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.
  V = 1/3 · π · 5² · 12 = 100π ≈ 314.16 см³.

• Пример 3 (найти r по V и h): V = 2 л = 2000 см³, h = 20 см.
  r = √(3V/(πh)) = √(6000/(20π)) ≈ √(95.49) ≈ 9.77 см.
  Диаметр d ≈ 19.54 см.

Единицы и конверсия

• 1 см³ = 1 мл.
• 1000 см³ = 1 л.
• 1 м³ = 1000 л = 1 000 000 см³.
• Перевод длины: 1 м = 100 см; 1 см = 10 мм.
  Важно: приводите все исходные размеры к одной системе, иначе получите неверный результат.

Проверка результата и контроль ошибок

• Сравнение с цилиндром: при тех же r и h объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра.
• Оценка порядка величины: если r и h в сантиметрах порядка 10, объем должен быть в сотнях–тысячах см³.
• Округление: указывайте, до скольких знаков округляете (например, до 2 знаков после запятой).

Крайние случаи и ограничения

• Если r = 0 или h = 0, объем равен 0.
• r < 0, h < 0 — некорректные входные данные.
• Для образующей l должно выполняться l ≥ r; иначе реальный конус не существует.
• Слишком большие значения лучше вводить в метрах, чтобы избежать переполнения и путаницы в нулях.

Частые ошибки

• Забывают множитель 1/3 в формуле.
• Подставляют диаметр вместо радиуса без деления на 2.
• Используют образующую l вместо высоты h в формуле объема.
• Смешивают сантиметры и метры в одном расчете без перевода.
• Округляют слишком рано: сначала считайте точно, затем округляйте финальный результат.

Полезные дополнения

• Если известна площадь боковой поверхности конуса Sb = π · r · l, а также r или l, можно восстановить недостающий параметр, найти h и затем объем.
• Для усеченного конуса используйте другую формулу: V = 1/3 · π · h · (R² + Rr + r²), где R — радиус большего основания.
• В практических задачах емкость реальной воронки может отличаться из‑за толщины стенок и неровностей — учитывайте технологические допуски.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.