Найти значение функции при x

Чтобы найти значение функции при заданном x, достаточно подставить число вместо переменной в формулу и выполнить вычисления. Операция называется подстановкой и лежит в основе всей работы с функциями – от построения графиков до решения уравнений.

Как найти значение функции при x: алгоритм

Порядок действий одинаков для любого типа функции:

1. Убедитесь, что заданное значение x входит в область определения (нет деления на ноль, корня из отрицательного числа и т. д.).
2. Подставьте числовое значение x в формулу вместо переменной.
3. Выполните арифметические действия в правильном порядке: скобки → степени → умножение/деление → сложение/вычитание.
4. Запишите результат: f(x₀) = y₀.

Пример. Дана функция f(x) = 4x² − 3x + 1. Найти f(2).

• Подставляем: f(2) = 4 · 2² − 3 · 2 + 1
• Степень: 2² = 4
• Умножение: 4 · 4 = 16, 3 · 2 = 6
• Сложение/вычитание: 16 − 6 + 1 = 11
• Ответ: f(2) = 11

Примеры для разных типов функций

Линейная функция f(x) = kx + b

Найти значение f(x) = −2x + 5 при x = 3:

f(3) = −2 · 3 + 5 = −6 + 5 = −1

Линейная функция определена при любом x, поэтому проверка области определения не требуется.

Квадратичная функция f(x) = ax² + bx + c

Найти значение f(x) = x² − 6x + 9 при x = −1:

f(−1) = (−1)² − 6 · (−1) + 9 = 1 + 6 + 9 = 16

Частая ошибка – неверный знак при возведении отрицательного числа в степень. Помните: (−1)² = 1, но −1² = −1 (знак не входит в основание).

Дробно-рациональная функция

Найти значение f(x) = (x + 2) / (x − 4) при x = 6:

• Проверка: x − 4 = 6 − 4 = 2 ≠ 0 – значение определено.
• f(6) = (6 + 2) / (6 − 4) = 8 / 2 = 4

При x = 4 знаменатель обращается в ноль – функция не определена.

Функция с корнем

Найти значение f(x) = √(2x + 3) при x = 11:

• Проверка: 2 · 11 + 3 = 25 ≥ 0 – подкоренное выражение неотрицательно.
• f(11) = √25 = 5

Тригонометрическая функция

Найти значение f(x) = sin(x) + cos(x) при x = π/4:

f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,414

Показательная функция

Найти значение f(x) = 3 · 2ˣ при x = 5:

f(5) = 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96

Кусочно-заданные функции

Если функция задана разными формулами на разных промежутках, сначала определите, какому условию соответствует заданный x.

Пример:

Найти f(−3) и f(4):

• x = −3 < 0 → используем f(x) = x²: f(−3) = (−3)² = 9
• x = 4 ≥ 0 → используем f(x) = 2x + 1: f(4) = 2 · 4 + 1 = 9

Значения совпали, но формулы применялись разные.

Как найти значение функции по графику?

Когда формула неизвестна, а дан только график:

1. Отметьте заданное значение x на горизонтальной оси.
2. Проведите вертикальную прямую через эту точку до пересечения с графиком.
3. Из точки пересечения проведите горизонтальную прямую к вертикальной оси.
4. Считайте значение y – это и есть f(x).

Если вертикальная прямая не пересекает график, точка не входит в область определения. Если пересечений несколько – перед вами не функция (нарушено условие: каждому x соответствует единственное y).

Таблица значений функции

Для построения графика или анализа поведения удобно составить таблицу, вычислив f(x) в нескольких точках.

Пример для f(x) = x³ − 4x:

По таблице видно, что функция обращается в ноль при x = −2, x = 0 и x = 2.

Типичные ошибки при вычислении

Обратная задача: найти x по значению функции

Иногда требуется определить, при каком x функция принимает заданное значение y₀. Для этого решают уравнение f(x) = y₀.

Пример. При каком x функция f(x) = 3x − 7 принимает значение 5?

3x − 7 = 5 → 3x = 12 → x = 4

Проверка: f(4) = 3 · 4 − 7 = 5 ✓

Для квадратичных и других нелинейных функций уравнение может иметь несколько решений или не иметь их вовсе.

Примеры в статье носят учебный характер. При решении экзаменационных задач сверяйтесь с условиями и требованиями конкретного задания.