Найти высоту треугольника АВС

Когда нужно найти высоту треугольника АВС, выбор формулы зависит от исходных данных. Калькулятор выше рассчитает высоту по вашим параметрам, а ниже – все формулы с пояснениями и примерами.

Что такое высота треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. В треугольнике АВС высота из вершины A опускается на сторону BC, из вершины B – на сторону AC, из вершины C – на сторону AB.

Три высоты пересекаются в одной точке – ортоцентре. В остроугольном треугольнике он лежит внутри, в тупоугольном – вне фигуры, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла.

Как найти высоту треугольника АВС через площадь

Самый универсальный способ – использовать связь высоты с площадью:

S = ½ · a · hₐ

Отсюда:

hₐ = 2S / a

где a – сторона, к которой проведена высота, S – площадь треугольника.

Если площадь неизвестна, её находят по формуле Герона:

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

где p = (a + b + c) / 2 – полупериметр.

Итоговая формула высоты к стороне a:

hₐ = (2/a) · √(p(p − a)(p − b)(p − c))

Пример. Стороны треугольника АВС: AB = 13, BC = 14, AC = 15. Найдём высоту к стороне BC.

• p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
• S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
• h = 2 · 84 / 14 = 12

Как найти высоту через сторону и угол?

Если известна сторона и прилежащий к ней угол, используйте тригонометрические соотношения:

• hₐ = b · sin C – высота к стороне a через сторону b и угол C
• hₐ = c · sin B – высота к стороне a через сторону c и угол B
• hb = a · sin C – высота к стороне b через сторону a и угол C

Пример. В треугольнике АВС сторона AC = 8, угол A = 30°. Высота из вершины C к стороне AB:

h = AC · sin A = 8 · sin 30° = 8 · 0,5 = 4

Высота треугольника по координатам вершин

Если вершины заданы координатами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), алгоритм следующий:

1. Длина стороны a (BC): a = √((x₃ − x₂)² + (y₃ − y₂)²)
2. Площадь: S = ½ · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
3. Высота: hₐ = 2S / a

Пример. A(1, 2), B(4, 7), C(7, 3).

• BC = √((7 − 4)² + (3 − 7)²) = √(9 + 16) = 5
• S = ½ · |1(7 − 3) + 4(3 − 2) + 7(2 − 7)| = ½ · |4 + 4 − 35| = ½ · 27 = 13,5
• h = 2 · 13,5 / 5 = 5,4

Частные случаи

Равносторонний треугольник

Все стороны равны a, все высоты одинаковы:

h = a√3 / 2

При a = 6: h = 6√3 / 2 = 3√3 ≈ 5,2

Равнобедренный треугольник

Высота к основанию делит его пополам и образует прямоугольный треугольник:

h = √(b² − (a/2)²)

где b – боковая сторона, a – основание.

Прямоугольный треугольник

Высота из вершины прямого угла к гипотенузе:

h = ab / c

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Таблица формул высоты треугольника

Формулы приведены для стандартных школьных задач, для нестандартных условий сверьтесь с учебным пособием.