Найти высоту треугольника ABC

Когда нужно найти высоту треугольника ABC, выбор формулы зависит от исходных данных: сторон, углов, площади или координат вершин. Ошибка в формуле – и задача не сходится. Ниже – все способы расчёта с примерами и онлайн-калькулятором.

Как найти высоту треугольника ABC через площадь

Самый универсальный способ. Если известна площадь треугольника S и сторона a, к которой проведена высота hₐ:

hₐ = 2S / a

У каждого треугольника три высоты – по числу сторон, которые могут быть основанием.

Пример: площадь ΔABC равна 48 см², сторона AC = 12 см. Высота из вершины B к стороне AC:

hₐ = 2 × 48 / 12 = 8 см.

Формулы высоты треугольника по разным данным

Через две стороны и угол (между ними)

Если известны стороны b и c и угол α между ними:

hₐ = b × sin(γ) = c × sin(β)

Где β и γ – углы, прилежащие к стороне a.

Через сторону и прилежащий угол

Если известна сторона b и угол α при основании a:

hₐ = b × sin(α)

Пример: в ΔABC сторона AB = 15, угол A = 40°. Высота из вершины C к стороне AB:

h = 15 × sin(40°) ≈ 15 × 0,6428 ≈ 9,64

Через три стороны (формула Герона)

Когда даны все три стороны a, b, c:

1. Вычислите полупериметр: p = (a + b + c) / 2
2. Найдите площадь: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
3. Рассчитайте высоту: hₐ = 2S / a

Пример: a = 13, b = 14, c = 15.

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

S = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84

hₐ = 2 × 84 / 13 ≈ 12,92

Высота равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной a:

h = a√3 / 2

При a = 10: h = 10 × 1,732 / 2 = 8,66.

Высота прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с катетами a, b и гипотенузой c:

• Катеты являются высотами: hₐ = b, h_b = a
• Высота к гипотенузе: h = ab / c

Пример: катеты 6 и 8, гипотенуза 10.

h = 6 × 8 / 10 = 4,8

Высота равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой и биссектрисой. Если боковая сторона b, основание a:

h = √(b² − (a/2)²)

Пример: боковые стороны по 17, основание 16.

h = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15

Как найти высоту треугольника ABC по координатам вершин

Даны координаты: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃).

Шаг 1. Найдите площадь через определитель:

S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Шаг 2. Вычислите длину стороны-основания, например BC:

a = √((x₃ − x₂)² + (y₃ − y₂)²)

Шаг 3. Найдите высоту:

hₐ = 2S / a

Пример: A(1, 2), B(4, 6), C(7, 1).

S = ½ |1(6 − 1) + 4(1 − 2) + 7(2 − 6)| = ½ |5 − 4 − 28| = ½ × 27 = 13,5

BC = √((7 − 4)² + (1 − 6)²) = √(9 + 25) = √34 ≈ 5,83

hₐ = 2 × 13,5 / 5,83 ≈ 4,63

Какая формула высоты треугольника нужна в вашей задаче?

Свойства высот треугольника

• Три высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри, в тупоугольном – снаружи, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла.
• Высоты обратно пропорциональны сторонам: hₐ : h_b : h_c = 1/a : 1/b : 1/c.
• Произведение высоты на соответствующую сторону постоянно для данного треугольника: hₐ × a = h_b × b = h_c × c = 2S.

Формулы приведены для плоской евклидовой геометрии. Для сферических и других неевклидовых треугольников расчёт высоты выполняется иначе.