Как найти высоту, проведённую из вершины
Когда даны стороны, углы или площадь треугольника, а нужно найти высоту, проведённую из вершины, выбор формулы зависит от того, какие именно величины известны. Один и тот же результат можно получить разными путями – ниже собраны все рабочие варианты.
Что такое высота, проведённая из вершины треугольника
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Если треугольник остроугольный, основание высоты лежит на стороне. Если тупоугольный – на продолжении стороны.
У каждого треугольника три высоты, по одной из каждой вершины. Точка их пересечения называется ортоцентром.
Через площадь и сторону
Самая универсальная формула. Если известна площадь треугольника и длина стороны, к которой проведена высота:
h = 2S / a
- S – площадь треугольника
- a – сторона, к которой проведена высота
Пример: площадь треугольника 60 см², сторона a = 12 см. Высота из противолежащей вершины: h = 2 × 60 / 12 = 10 см.
Как найти высоту, проведённую из вершины, через две стороны и угол
Если известны сторона, к которой проведена высота, и прилежащий к ней угол:
h = b · sin(α)
- b – боковая сторона, выходящая из той же вершины
- α – угол между сторонами a и b
Пример: сторона b = 14 см, угол α = 30°. h = 14 × sin(30°) = 14 × 0,5 = 7 см.
Через все три стороны (формула Герона)
Когда известны только три стороны, площадь сначала находят по формуле Герона, затем подставляют в h = 2S / a:
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
где p = (a + b + c) / 2 – полупериметр.
Итоговая формула высоты к стороне a:
hₐ = (2 / a) · √(p(p − a)(p − b)(p − c))
Пример: стороны 13, 14, 15 см. Полупериметр p = 21. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 см². Высота к стороне 14: h = 2 × 84 / 14 = 12 см.
Высота в прямоугольном треугольнике из прямого угла
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами. Третья – высота из вершины прямого угла к гипотенузе – вычисляется по формуле:
h = (a · b) / c
- a, b – катеты
- c – гипотенуза
Также можно выразить высоту через отрезки гипотенузы p и q, на которые делит основание высоты:
h = √(p · q)
Пример: катеты 6 и 8, гипотенуза 10. h = (6 × 8) / 10 = 4,8 см.
Высота в равнобедренном треугольнике
Высота, проведённая из вершины к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора:
h = √(b² − (a / 2)²)
- b – боковая сторона
- a – основание
Пример: боковая сторона 10 см, основание 12 см. h = √(100 − 36) = √64 = 8 см.
Высота в равностороннем треугольнике
Все три высоты равны. Формула:
h = a√3 / 2
Пример: сторона 8 см. h = 8√3 / 2 = 4√3 ≈ 6,93 см.
Связь трёх высот
Длины высот обратно пропорциональны сторонам:
hₐ : h_b : h_c = 1/a : 1/b : 1/c
Это значит, что наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, и наоборот.
Произведение высоты на соответствующую сторону постоянно для данного треугольника: hₐ · a = h_b · b = h_c · c = 2S.
Таблица формул
| Исходные данные | Формула высоты к стороне a |
|---|---|
| Площадь S и сторона a | h = 2S / a |
| Сторона b и угол α | h = b · sin(α) |
| Три стороны (Герон) | h = (2/a) · √(p(p−a)(p−b)(p−c)) |
| Катеты и гипотенуза | h = (a · b) / c |
| Боковая сторона и основание (равнобедренный) | h = √(b² − (a/2)²) |
| Сторона (равносторонний) | h = a√3 / 2 |
Какую формулу выбрать
Порядок действий зависит от исходных данных:
- Известна площадь и сторона – сразу h = 2S / a
- Известны две стороны и угол – h = b · sin(α)
- Известны только три стороны – формула Герона, затем h = 2S / a
- Прямоугольный треугольник – h = (a · b) / c для высоты из прямого угла
- Равнобедренный треугольник – теорема Пифагора
- Равносторонний треугольник – h = a√3 / 2
Для быстрого расчёта используйте калькулятор выше – введите известные параметры, и результат вычислится автоматически.
Данные формулы соответствуют стандартному курсу планиметрии. При решении контрольных и экзаменационных задач сверяйтесь с условиями – могут требоваться конкретные методы решения.