Как найти высоту, проведённую из вершины

Когда даны стороны, углы или площадь треугольника, а нужно найти высоту, проведённую из вершины, выбор формулы зависит от того, какие именно величины известны. Один и тот же результат можно получить разными путями – ниже собраны все рабочие варианты.

Что такое высота, проведённая из вершины треугольника

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Если треугольник остроугольный, основание высоты лежит на стороне. Если тупоугольный – на продолжении стороны.

У каждого треугольника три высоты, по одной из каждой вершины. Точка их пересечения называется ортоцентром.

Через площадь и сторону

Самая универсальная формула. Если известна площадь треугольника и длина стороны, к которой проведена высота:

h = 2S / a

• S – площадь треугольника
• a – сторона, к которой проведена высота

Пример: площадь треугольника 60 см², сторона a = 12 см. Высота из противолежащей вершины: h = 2 × 60 / 12 = 10 см.

Как найти высоту, проведённую из вершины, через две стороны и угол

Если известны сторона, к которой проведена высота, и прилежащий к ней угол:

h = b · sin(α)

• b – боковая сторона, выходящая из той же вершины
• α – угол между сторонами a и b

Пример: сторона b = 14 см, угол α = 30°. h = 14 × sin(30°) = 14 × 0,5 = 7 см.

Через все три стороны (формула Герона)

Когда известны только три стороны, площадь сначала находят по формуле Герона, затем подставляют в h = 2S / a:

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

где p = (a + b + c) / 2 – полупериметр.

Итоговая формула высоты к стороне a:

hₐ = (2 / a) · √(p(p − a)(p − b)(p − c))

Пример: стороны 13, 14, 15 см. Полупериметр p = 21. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 см². Высота к стороне 14: h = 2 × 84 / 14 = 12 см.

Высота в прямоугольном треугольнике из прямого угла

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами. Третья – высота из вершины прямого угла к гипотенузе – вычисляется по формуле:

h = (a · b) / c

• a, b – катеты
• c – гипотенуза

Также можно выразить высоту через отрезки гипотенузы p и q, на которые делит основание высоты:

h = √(p · q)

Пример: катеты 6 и 8, гипотенуза 10. h = (6 × 8) / 10 = 4,8 см.

Высота в равнобедренном треугольнике

Высота, проведённая из вершины к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам и образует два равных прямоугольных треугольника.

По теореме Пифагора:

h = √(b² − (a / 2)²)

• b – боковая сторона
• a – основание

Пример: боковая сторона 10 см, основание 12 см. h = √(100 − 36) = √64 = 8 см.

Высота в равностороннем треугольнике

Все три высоты равны. Формула:

h = a√3 / 2

Пример: сторона 8 см. h = 8√3 / 2 = 4√3 ≈ 6,93 см.

Связь трёх высот

Длины высот обратно пропорциональны сторонам:

hₐ : h_b : h_c = 1/a : 1/b : 1/c

Это значит, что наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, и наоборот.

Произведение высоты на соответствующую сторону постоянно для данного треугольника: hₐ · a = h_b · b = h_c · c = 2S.

Таблица формул

Какую формулу выбрать

Порядок действий зависит от исходных данных:

1. Известна площадь и сторона – сразу h = 2S / a
2. Известны две стороны и угол – h = b · sin(α)
3. Известны только три стороны – формула Герона, затем h = 2S / a
4. Прямоугольный треугольник – h = (a · b) / c для высоты из прямого угла
5. Равнобедренный треугольник – теорема Пифагора
6. Равносторонний треугольник – h = a√3 / 2

Для быстрого расчёта используйте калькулятор выше – введите известные параметры, и результат вычислится автоматически.

Данные формулы соответствуют стандартному курсу планиметрии. При решении контрольных и экзаменационных задач сверяйтесь с условиями – могут требоваться конкретные методы решения.