Высота гипотенузы прямоугольного треугольника

12 мая 2026 г.

Формула высоты к гипотенузе

Высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе, – один из ключевых элементов прямоугольного треугольника. Она находит применение не только в школьных задачах, но и в инженерных расчётах, архитектуре, геодезии.

Главная формула:

$$h = \frac{a \times b}{c}$$

где:

a и b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза
h – высота, опущенная на гипотенузу

Эта формула напрямую связывает высоту с двумя известными характеристиками треугольника и следует из свойства подобия образующихся треугольников.

Вывод формулы через подобие треугольников

Когда вы проведёте высоту h из прямого угла на гипотенузу, она разделит исходный треугольник на два smaller triangles. Все три треугольника окажутся подобными друг другу – это следует из равенства углов: каждый из них имеет по одному прямому углу и по паре равных острых углов.

Из подобия вытекают три соотношения:

$$a^2 = c \times d_1$$$$b^2 = c \times d_2$$$$h^2 = d_1 \times d_2$$

Здесь d₁ и d₂ – проекции катетов a и b на гипотенузу. Перемножив первое равенство на второе:

$$a^2 \times b^2 = c^2 \times d_1 \times d_2 = c^2 \times h^2$$

Извлекая корень и выражая h:

$$h = \frac{a \times b}{c}$$

Пример расчёта

Условие: катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Шаг 1. Найдите гипотенузу по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Шаг 2. Примените формулу высоты:

$$h = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4{,}8 \text{ см}$$

Ответ: высота к гипотенузе составляет 4,8 см.

Проверим через проекции:

Проекция катета 6: $d_1 = 36 / 10 = 3{,}6$ см
Проекция катета 8: $d_2 = 64 / 10 = 6{,}4$ см
$h = \sqrt{3{,}6 \times 6{,}4} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ см – совпадает ✓

Альтернативный способ через проекции

Если известны проекции катетов на гипотенузу, высоту можно найти без вычисления самой гипотенузы:

$$h = \sqrt{d_1 \times d_2}$$

Это удобно, когда длины катетов неизвестны, но заданы отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Когда использовать каждый метод

Что дано	Метод расчёта
Два катета	$h = \\frac{a \\times b}{c}$, предварительно найдите гипотенузу
Гипотенуза и один катет	$a^2 = c \\times d_1$ – найдите проекцию, затем $h$
Обе проекции катетов	$h = \\sqrt{d_1 \\times d_2}$

Для проверки расчётов можно использовать калькулятор высоты гипотенузы – он автоматически применит нужную формулу в зависимости от исходных данных.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?

Высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: h = (a × b) / c.

Как высота делит гипотенузу?

Высота делит гипотенузу на два отрезка – проекции катетов. Справедливо соотношение h² = d₁ × d₂.

Какие треугольники образуются при проведении высоты к гипотенузе?

Образуются два треугольника, каждый из которых подобен исходному и друг другу.

Можно ли найти высоту через проекции катетов?

Да, квадрат высоты равен произведению проекций: h² = d₁ × d₂, где d₁ и d₂ – проекции катетов на гипотенузу.