Найти высоту AH треугольника ABC

Высота AH в треугольнике ABC – это перпендикуляр, опущенный из вершины A на противолежащую сторону BC. Точка H – основание высоты. Задача нахождения высоты встречается в школьной геометрии постоянно: при вычислении площади, решении треугольников, нахождении расстояний. Ниже – все рабочие формулы и примеры.

Формула высоты AH через площадь и основание

Самый универсальный способ – связать высоту с площадью треугольника:

h = 2S / a

где:

• h – искомая высота AH,
• S – площадь треугольника,
• a – длина стороны BC, на которую опущена высота.

Эта формула работает для любого треугольника – остроугольного, прямоугольного, тупоугольного. Нужно только знать (или сначала найти) площадь и длину основания.

Как найти высоту AH через три стороны (формула Герона)

Когда известны длины всех трёх сторон a, b, c треугольника ABC, площадь находят по формуле Герона:

1. Вычислите полупериметр: p = (a + b + c) / 2
2. Найдите площадь: S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c))
3. Подставьте в формулу высоты: h = 2S / a

Пример

Дан треугольник ABC: AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найти высоту AH (H ∈ BC).

1. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
2. Площадь: S = √(21 · (21 − 13) · (21 − 14) · (21 − 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 см²
3. Высота: h = 2 · 84 / 14 = 12 см

Как найти высоту AH через сторону и угол

Если известна одна из сторон, прилежащих к вершине A, и противолежащий угол, высоту можно вычислить напрямую:

• h = b · sin C (через сторону AC и угол C)
• h = c · sin B (через сторону AB и угол B)

Пример

В треугольнике ABC: AC = 10 см, угол B = 30°. Найти высоту AH.

h = AC · sin B = 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5 см

Высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике с прямым углом в вершине C два катета уже являются высотами друг на друга: AC – высота на BC, BC – высота на AC. Задача нахождения высоты AH (из вершины A на гипотенузу BC) решается иначе:

h = (AB · AC) / BC

Это следует из равенства площадей: S = (AB · AC) / 2 = (BC · h) / 2.

Пример

Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°): AB = 5, AC = 3, BC = 4.

h = (5 · 3) / 4 = 15 / 4 = 3,75 см

Высота равностороннего и равнобедренного треугольника

Равносторонний треугольник

При стороне a:

h = (a√3) / 2

При a = 10: h = 10 · 1,732 / 2 ≈ 8,66 см

Равнобедренный треугольник

Если AB = AC = b, а основание BC = a, высота AH одновременно является медианой и биссектрисой. По теореме Пифагора:

h = √(b² − a²/4)

Особенности высоты в тупоугольном треугольнике

В тупоугольном треугольнике высота из вершины с тупым углом падает на продолжение противоположной стороны – точка H лежит за пределами отрезка BC. Формулы h = 2S / a и h = b · sin C по-прежнему работают, но геометрически высота оказывается вне треугольника.

Две другие высоты (из острых вершин) падают на продолжения своих оснований аналогично. Однако пересечение всех трёх высот (ортоцентр) при этом тоже оказывается вне треугольника.

Какую формулу выбрать

Частые ошибки

• Смешивать основание и боковую сторону. Высота AH проводится на сторону BC (противолежащую вершине A). Если задача просит высоту BK – основанием будет сторона AC.
• Забывать про тупой угол. В тупоугольном треугольнике основание высоты может лежать вне отрезка BC – но длина высоты всё равно считается по стандартным формулам.
• Применять формулу h = b · sin C, когда угол C – не противолежащий. Нужно убедиться, что используемая сторона и угол образуют правильную пару: сторона AC и угол B (или сторона AB и угол C).