Обновлено:
Найти внешние углы треугольника ABC
У учеников задача «найти внешние углы треугольника ABC» часто вызывает путаницу: непонятно, откуда брать формулы и нужно ли сначала искать все внутренние углы. На самом деле достаточно двух инструментов – определения смежного угла и теоремы о внешнем угле.
Что такое внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника ABC – угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением смежной стороны за вершину.
У каждой вершины есть два внешних угла, они вертикальные и равны между собой. Поэтому в задачах рассматривают по одному внешнему углу на вершину.
Обозначения:
- Внутренние углы: ∠A, ∠B, ∠C
- Внешние углы: ∠A₁ (при вершине A), ∠B₁ (при вершине B), ∠C₁ (при вершине C)
Внешний и смежный с ним внутренний угол лежат на одной прямой, поэтому в сумме дают 180°. Это и есть базовая формула.
Формулы для нахождения внешних углов треугольника ABC
Из свойства смежных углов и теоремы о внешнем угле получают два равнозначных способа расчёта:
| Внешний угол | Через смежный внутренний | Через два несмежных внутренних |
|---|---|---|
| ∠A₁ (при вершине A) | 180° − ∠A | ∠B + ∠C |
| ∠B₁ (при вершине B) | 180° − ∠B | ∠A + ∠C |
| ∠C₁ (при вершине C) | 180° − ∠C | ∠A + ∠B |
Вторая колонка – следствие теоремы о внешнем угле треугольника.
Калькулятор выше принимает любые два или три внутренних угла треугольника ABC (в градусах) и вычисляет все три внешних угла. Если введены только два угла, третий внутренний определяется автоматически как 180° − ∠A − ∠B.
Теорема о внешнем угле треугольника
Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство:
Сумма внутренних углов треугольника:
$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$Внешний угол при C смежен с ∠C:
$$\angle C_1 = 180° - \angle C$$Подставляем ∠C = 180° − ∠A − ∠B:
$$\angle C_1 = 180° - (180° - \angle A - \angle B) = \angle A + \angle B \quad \blacksquare$$Следствие: внешний угол треугольника больше каждого из двух несмежных внутренних углов, так как равен их сумме.
Как найти внешние углы треугольника ABC: алгоритм
Случай 1. Известны все три внутренних угла.
- Убедитесь: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
- Вычтите каждый из 180°:
- ∠A₁ = 180° − ∠A
- ∠B₁ = 180° − ∠B
- ∠C₁ = 180° − ∠C
Случай 2. Известны два внутренних угла.
- Найдите третий: ∠C = 180° − ∠A − ∠B
- Примените формулы из случая 1, или по теореме:
- ∠C₁ = ∠A + ∠B (самый быстрый способ)
Случай 3. Известны внешний угол и один несмежный внутренний.
- Из теоремы: ∠C₁ = ∠A + ∠B → ∠B = ∠C₁ − ∠A
- Внутренний при C: ∠C = 180° − ∠C₁
- Остальные внешние углы – из таблицы формул
Сумма внешних углов треугольника
Сумма трёх внешних углов (по одному на каждую вершину) всегда равна 360°:
$$\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = (180° - \angle A) + (180° - \angle B) + (180° - \angle C) = 540° - 180° = 360°$$Это свойство справедливо для любого выпуклого многоугольника. Проверка суммы – удобный способ контроля правильности решения.
Примеры задач
Пример 1. Найти все внешние углы
Условие: △ABC, ∠A = 40°, ∠B = 75°, ∠C = 65°.
Решение:
- ∠A₁ = 180° − 40° = 140°
- ∠B₁ = 180° − 75° = 105°
- ∠C₁ = 180° − 65° = 115°
Проверка: 140° + 105° + 115° = 360° ✓
Пример 2. Известны два внутренних угла
Условие: ∠A = 50°, ∠B = 70°. Найти внешний угол при вершине C.
Решение (по теореме – без нахождения ∠C):
$$\angle C_1 = \angle A + \angle B = 50° + 70° = \textbf{120°}$$Пример 3. Найти внутренний угол через внешний
Условие: внешний угол при C равен 110°, ∠A = 40°. Найти ∠B.
Решение:
$$\angle C_1 = \angle A + \angle B \Rightarrow 110° = 40° + \angle B \Rightarrow \angle B = \textbf{70°}$$Внешние углы в частных типах треугольников
| Треугольник | Внутренние углы | Внешние углы |
|---|---|---|
| Равносторонний | 60°, 60°, 60° | 120°, 120°, 120° |
| Прямоугольный 45–45–90 | 45°, 45°, 90° | 135°, 135°, 90° |
| Прямоугольный 30–60–90 | 30°, 60°, 90° | 150°, 120°, 90° |
| Тупоугольный 120–35–25 | 120°, 35°, 25° | 60°, 145°, 155° |
| Равнобедренный 100–40–40 | 100°, 40°, 40° | 80°, 140°, 140° |
В тупоугольном треугольнике внешний угол при тупой вершине – единственный острый внешний угол. В остроугольном треугольнике все три внешних угла тупые.
Часто задаваемые вопросы
Чему равна сумма всех внешних углов треугольника?
Сумма трёх внешних углов треугольника (по одному на каждую вершину) всегда равна 360°. Это следует из того, что каждый внешний угол дополняет внутренний до 180°, а сумма внутренних углов равна 180°: 3 × 180° − 180° = 360°.
Как найти внешний угол, если известны два внутренних?
По теореме о внешнем угле он равен сумме двух несмежных внутренних углов. Например, если ∠A = 50°, ∠B = 70°, то внешний угол при C равен 50° + 70° = 120° – без вычисления ∠C.
Может ли внешний угол треугольника быть острым?
Да. В тупоугольном треугольнике внешний угол при тупой вершине – острый. Например, если ∠C = 120°, то внешний угол при C равен 180° − 120° = 60°. При вершинах с острыми внутренними углами внешние углы будут тупыми.
Чему равны внешние углы равностороннего треугольника?
В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны 60°, поэтому каждый внешний угол равен 180° − 60° = 120°. Сумма проверяется: 3 × 120° = 360°.
Чем внешний угол отличается от смежного?
Внешний угол треугольника – это и есть смежный угол с соответствующим внутренним: они образованы одной стороной треугольника и продолжением другой и в сумме дают 180°. Термины в данном контексте равнозначны.
Как найти внутренний угол треугольника, зная внешний?
Внутренний угол = 180° − внешний угол. Они смежные, поэтому всегда дополняют друг друга до 180°. Пример: внешний угол 115° → внутренний = 180° − 115° = 65°.
Какой внешний угол треугольника самый большой?
Наибольший внешний угол находится при вершине с наименьшим внутренним углом – чем меньше внутренний, тем больше внешний. В остроугольном треугольнике все внешние углы тупые (больше 90°).