Найти вероятность суммы двух величин
Когда задача требует найти вероятность того, что сумма двух величин примет определённое значение, речь идёт о распределении суммы случайных величин. Подход зависит от типа величин – дискретных или непрерывных – и от их независимости.
Как найти вероятность того что сумма двух равна заданному числу
Для двух независимых дискретных величин X и Y вероятность того, что их сумма равна k, вычисляется через свёртку распределений:
$$P(X + Y = k) = \sum_i P(X = i) \cdot P(Y = k - i)$$Суммирование идёт по всем i, при которых обе вероятности определены.
Если величины заданы таблицей распределения, подставьте конкретные значения и просуммируйте произведения.
Метод перебора благоприятных исходов
Для задач с конечным числом равновероятных исходов (кубики, карты, монеты) достаточно классической формулы:
$$P = \frac{m}{n}$$где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.
Пример: сумма очков на двух кубиках
Общее число исходов: 6 × 6 = 36.
Найдём вероятность суммы 8. Благоприятные пары:
| X | Y |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 3 | 5 |
| 4 | 4 |
| 5 | 3 |
| 6 | 2 |
Пять благоприятных исходов из 36: P = 5/36 ≈ 13,9%.
Сколько исходов даёт каждая сумма двух кубиков
Для наглядности – число пар, дающих конкретную сумму:
| Сумма | Число пар | Вероятность |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 ≈ 2,8% |
| 3 | 2 | 2/36 ≈ 5,6% |
| 4 | 3 | 3/36 ≈ 8,3% |
| 5 | 4 | 4/36 ≈ 11,1% |
| 6 | 5 | 5/36 ≈ 13,9% |
| 7 | 6 | 6/36 ≈ 16,7% |
| 8 | 5 | 5/36 ≈ 13,9% |
| 9 | 4 | 4/36 ≈ 11,1% |
| 10 | 3 | 3/36 ≈ 8,3% |
| 11 | 2 | 2/36 ≈ 5,6% |
| 12 | 1 | 1/36 ≈ 2,8% |
Распределение симметрично: суммы 2 и 12, 3 и 11, 4 и 10 и так далее имеют одинаковые вероятности.
Когда нужно найти вероятность суммы двух для произвольных распределений
Если величины заданы таблицами, а не равномерным распределением, применяйте формулу свёртки последовательно.
Пример с произвольными вероятностями
Пусть X принимает значения 1, 2 с вероятностями 0,4 и 0,6, а Y – значения 1, 2, 3 с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5.
Найдём P(X + Y = 4):
- P(X = 1, Y = 3) = 0,4 × 0,5 = 0,20
- P(X = 2, Y = 2) = 0,6 × 0,3 = 0,18
P(X + Y = 4) = 0,20 + 0,18 = 0,38.
Калькулятор выше автоматически выполняет этот перебор для произвольных дискретных распределений.
Вероятность суммы двух непрерывных величин
Для непрерывных величин свёртка записывается через интеграл:
$$f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \cdot f_Y(z - x) \, dx$$где $f_X$ и $f_Y$ – плотности распределения.
Частные случаи:
- Сумма двух нормальных величин N(μ₁, σ₁²) и N(μ₂, σ₂²) распределена как N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)
- Сумма двух равномерных на [0, 1] величин даёт треугольное распределение на [0, 2]
Типичные ошибки
Складывать вероятности вместо перемножения. P(X = a) + P(Y = b) не равно P(X + Y = a + b). Нужны произведение и суммирование по всем подходящим разложениям.
Забывать про порядок. Для двух кубиков пары (2, 6) и (6, 2) – разные исходы. Если условие не указывает порядок, каждый вариант учитывается отдельно.
Игнорировать зависимость. Формула свёртки через произведение работает только для независимых величин. Для зависимых нужна совместная вероятность P(X = i, Y = k − i).
Статья носит ознакомительный характер. Для экзаменационных и профессиональных расчётов сверяйтесь с учебными пособиями по теории вероятностей.