Обновлено: 9 мая 2026 г.

Найти величину угла C

Как найти величину угла C

Величину угла C находят по теореме косинусов, если известны три стороны треугольника. Если известны два других угла – по сумме углов треугольника. В прямоугольном треугольнике угол вычисляют через арктангенс или как разность 90°.

Ниже – формулы для всех типовых случаев.

Основные формулы

1. По теореме косинусов (по трём сторонам)

Угол C – между сторонами a и b, противолежащая сторона – c:

$$C = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

Пример. Стороны: a = 8, b = 6, c = 7.

$$cos(C) = \frac{8^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{64 + 36 - 49}{96} = \frac{51}{96} = 0{,}53125$$$$C = \arccos(0{,}53125) \approx 57{,}9°$$

2. По сумме углов треугольника

$$C = 180° - A - B$$

Пример. Углы A = 45°, B = 70°.

$$C = 180° - 45° - 70° = 65°$$

3. По теореме синусов (сторона и два угла)

$$\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a}$$$$C = \arcsin\left(\frac{c \cdot \sin A}{a}\right)$$

Пример. Сторона c = 10, сторона a = 8, угол A = 40°.

$$\sin C = \frac{10 \cdot \sin 40°}{8} = \frac{10 \cdot 0{,}6428}{8} = 0{,}8035$$$$C = \arcsin(0{,}8035) \approx 53{,}4°$$

4. В прямоугольном треугольнике

Угол C прямой: C = 90°
Через другой острый угол: C = 90° − A
По катетам: C = arctg(a / b), где a и b – катеты, образующие угол C

Пример. Катет a = 4, катет b = 7.

$$C = \arctg\left(\frac{4}{7}\right) \approx \arctg(0{,}571) \approx 29{,}7°$$

5. По координатам вершин

Если вершины треугольника заданы координатами, используйте скалярное произведение векторов:

$$C = \arccos\left(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\right)$$

Пример. Вершины: A(0,0), B(5,0), C(2,4).

$$\vec{AB} = (5, 0), \quad \vec{AC} = (2, 4)$$$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 2 + 0 \cdot 4 = 10$$$$|\vec{AB}| = 5, \quad |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}472$$$$C = \arccos\left(\frac{10}{5 \cdot 4{,}472}\right) = \arccos(0{,}447) \approx 63,{4}°$$

Калькулятор угла C треугольника

Выберите метод расчёта

По трём сторонам (a, b, c) По двум углам (A, B) Прямоугольный (катеты) По координатам вершин (A, B, C)

Длины сторон

Сторона a (прилежащая 1) Образуется с углом С Сторона b (прилежащая 2) Образуется с углом С Сторона c (противолежащая) Напротив угла С

Частные случаи

Ситуация	Метод	Формула
Три стороны известны	Теорема косинусов	$C = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
Два угла известны	Сумма углов	$C = 180° - A - B$
Сторона, угол и ещё одна сторона	Теорема синусов	$C = \arcsin\left(\frac{c \cdot \sin A}{a}\right)$
Прямоугольный треугольник	Разность 90°	$C = 90° - A$
Известны катеты	Арктангенс	$C = \arctg(a / b)$
Координаты вершин	Скалярное произведение	$C = \arccos\left(\frac{AB \cdot AC}{	AB	AC	}\right)$

Типичные ошибки

Забывают, что арккосинус даёт угол от 0° до 180°. Если сумма квадратов двух сторон меньше квадрата третьей – угол тупой, и формула работает корректно.
Путают стороны в теореме косинусов. Сторона c – именно противолежащая углу C.
Не учитывают, что теорема синусов даёт два решения (острый и тупой углы). Проверяйте по контексту, подходит ли тупой вариант.

Резюме

Чтобы найти величину угла C, определите, какие данные у вас есть:

Три стороны → теорема косинусов.
Два угла → сумма 180° минус известные углы.
Две стороны и угол → теорема синусов или косинусов.
Координаты → скалярное произведение векторов.

Для точных расчётов используйте калькулятор выше – он применяет теорему косинусов по трём сторонам и сразу выдаёт результат в градусах.

Часто задаваемые вопросы

Как найти угол C через стороны треугольника?

По теореме косинусов: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), где a и b – стороны, образующие угол C, а c – противолежащая сторона.

Как найти угол C, если известны два других угла?

Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому C = 180° − A − B.

Как найти угол C в прямоугольном треугольнике?

Если угол C прямой – он равен 90°. Если дан другой острый угол A, то C = 90° − A.

Что такое теорема синусов для нахождения угла?

sin(C) / c = sin(A) / a = sin(B) / b. Из неё следует: sin(C) = c · sin(A) / a.

Можно ли найти угол по координатам вершин?

Да. По формуле скалярного произведения: cos(C) = (AB · AC) / (|AB|·|AC|), где AB и AC – векторы сторон.