Обновлено: 8 мая 2026 г.

Найти уравнение отрезка

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Найти уравнение отрезка – значит записать уравнение прямой, на которой он лежит, и добавить ограничения, отсекающие всё лишнее. Ниже – все способы: от школьной формулы с угловым коэффициентом до параметрической записи, которая работает даже для вертикальных отрезков и в трёхмерном пространстве.

Уравнение прямой по двум точкам – базовая формула

Пусть даны два конца отрезка: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Прямая, проходящая через эти точки, описывается каноническим уравнением:

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$

Раскрыв «крест-накрест», получаем общую форму Ax + By + C = 0:

$$(y_1 - y_2)\,x + (x_2 - x_1)\,y + (x_1 y_2 - x_2 y_1) = 0$$

Это уравнение прямой. Чтобы превратить его в уравнение отрезка, нужно ограничить область:

$$\min(x_1,\, x_2) \le x \le \max(x_1,\, x_2)$$$$\min(y_1,\, y_2) \le y \le \max(y_1,\, y_2)$$

Форма с угловым коэффициентом

Если x₁ ≠ x₂, можно записать прямую в виде y = kx + b, где:

k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) – угловой коэффициент (тангенс угла наклона);
b = y₁ − k · x₁ – свободный член.

Ограничение: x₁ ≤ x ≤ x₂ (или наоборот, если x₁ > x₂).

Если x₁ = x₂, прямая вертикальна и записывается как x = x₁, а отрезок выделяется условием y₁ ≤ y ≤ y₂.

Как найти уравнение отрезка – пошаговый алгоритм

Записать координаты концов: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂).
Проверить, не совпадают ли координаты x (вертикальный отрезок) или y (горизонтальный).
Вычислить угловой коэффициент k и свободный член b – либо составить каноническое уравнение.
Записать ограничения на x (и/или y), чтобы выделить именно отрезок.

Проверить точку на отрезке

Калькулятор принимает координаты двух точек A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Результат – уравнение прямой в форме y = kx + b (или x = const для вертикального случая), параметрическое уравнение отрезка, длина отрезка и координаты середины.

Параметрическое уравнение отрезка

Параметрическая запись – самый универсальный способ. Она не «ломается» на вертикальных отрезках и легко обобщается на 3D.

Для отрезка с концами A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂):

$$x(t) = x_1 + (x_2 - x_1)\,t$$$$y(t) = y_1 + (y_2 - y_1)\,t$$$$0 \le t \le 1$$

Значение t	Какая точка
t = 0	Начало отрезка – точка A
t = 0,5	Середина отрезка
t = 1	Конец отрезка – точка B

Эту же формулу можно записать в векторной форме:

$$\vec{r}(t) = (1 - t)\,\vec{A} + t\,\vec{B}, \quad t \in [0;\,1]$$

Здесь r(t) – радиус-вектор произвольной точки отрезка, а выражение представляет собой линейную интерполяцию между точками A и B.

Примеры с решениями

Пример 1 – наклонный отрезок

Дано: A(1, 2), B(5, 8). Найти уравнение отрезка.

Решение:

k = (8 − 2) / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5
b = 2 − 1,5 · 1 = 0,5
Уравнение прямой: y = 1,5x + 0,5
Ограничение: 1 ≤ x ≤ 5

Параметрическая форма:

x(t) = 1 + 4t
y(t) = 2 + 6t
0 ≤ t ≤ 1

Пример 2 – горизонтальный отрезок

Дано: A(−3, 4), B(7, 4).

k = (4 − 4) / (7 − (−3)) = 0. Прямая горизонтальна: y = 4, −3 ≤ x ≤ 7.

Пример 3 – вертикальный отрезок

Дано: A(2, −1), B(2, 5).

x₁ = x₂ = 2, поэтому угловой коэффициент не определён. Уравнение: x = 2, −1 ≤ y ≤ 5.

Параметрическая форма:

x(t) = 2
y(t) = −1 + 6t
0 ≤ t ≤ 1

Пример 4 – отрезок с дробными координатами

Дано: A(0,5; 3), B(4,5; −1).

k = (−1 − 3) / (4,5 − 0,5) = −4 / 4 = −1
b = 3 − (−1) · 0,5 = 3,5
Уравнение: y = −x + 3,5, 0,5 ≤ x ≤ 4,5

Какую форму уравнения выбрать?

Форма	Когда удобна	Ограничения
y = kx + b	Школьные задачи, графики функций	Не работает для вертикальных отрезков
(x − x₁)/a = (y − y₁)/b	Каноническая форма в аналитической геометрии	Знаменатели не должны быть нулевыми одновременно
Ax + By + C = 0	Нахождение расстояний, пересечений	Нужны дополнительные неравенства для отрезка
Параметрическая	Компьютерная графика, 3D-геометрия, анимации	Формально не одно уравнение, а система

Для большинства задач в школьном курсе достаточно формы y = kx + b. В вузовской аналитической геометрии и программировании предпочтительна параметрическая запись.

Уравнение отрезка в пространстве (3D)

Для точек A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) параметрическое уравнение:

$$x(t) = x_1 + (x_2 - x_1)\,t$$$$y(t) = y_1 + (y_2 - y_1)\,t$$$$z(t) = z_1 + (z_2 - z_1)\,t$$$$0 \le t \le 1$$

Каноническая форма в 3D:

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$

Если один из знаменателей равен нулю (например, x₂ − x₁ = 0), соответствующую координату записывают отдельно: x = x₁.

Середина и длина отрезка

Два сопутствующих параметра, которые часто требуются в задачах вместе с уравнением.

Середина отрезка M:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Длина отрезка d:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Для примера 1 (A(1, 2), B(5, 8)): d = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,21; M = (3; 5).

Типичные ошибки при составлении уравнения

Забытое ограничение. Без неравенств на x или t получается прямая, а не отрезок. Это самая частая ошибка.
Деление на ноль. При x₁ = x₂ формула y = kx + b не применима. Проверяйте знаменатель до вычисления k.
Перепутанные координаты. В формуле k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) важно делить разность y на разность x, а не наоборот.
Неправильный порядок точек. На уравнение прямой порядок не влияет, но влияет на знак направляющего вектора и на ограничения x₁ ≤ x ≤ x₂ – убедитесь, что левая граница меньше правой.

Статья носит образовательный характер. Проверяйте решения в соответствии с условиями конкретной задачи.

Часто задаваемые вопросы

Чем уравнение отрезка отличается от уравнения луча?

Отрезок ограничен двумя концами, поэтому параметр t изменяется от 0 до 1. Луч имеет начало, но не имеет конца – параметр t принимает значения от 0 до бесконечности. Прямая не ограничена ни с какой стороны, и t пробегает все действительные числа.

Можно ли задать вертикальный отрезок уравнением y = kx + b?

Нет. Если обе точки имеют одинаковую координату x, угловой коэффициент k не существует. Вертикальный отрезок задаётся уравнением x = const с ограничением y₁ ≤ y ≤ y₂. Параметрическая форма работает и в этом случае без оговорок.

Как найти длину отрезка, зная координаты его концов?

Длина вычисляется по формуле расстояния: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Для пространственного отрезка добавляется слагаемое (z₂ − z₁)² под корнем.

Как проверить, лежит ли точка на отрезке?

Подставьте координаты точки в уравнение прямой – если равенство выполняется, точка лежит на прямой. Затем убедитесь, что координаты точки находятся между координатами концов отрезка: min(x₁, x₂) ≤ x ≤ max(x₁, x₂) и аналогично для y.

Работают ли те же формулы для отрезка в трёхмерном пространстве?

Параметрическая форма работает без изменений – добавляется третья координата z(t) = z₁ + (z₂ − z₁)·t, 0 ≤ t ≤ 1. Каноническая форма записывается через два равенства: (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c.

Как перейти от параметрического уравнения отрезка к общему уравнению прямой?

Выразите параметр t из одного параметрического уравнения и подставьте в другое. Полученное соотношение вида Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой, содержащей отрезок. Не забудьте добавить ограничения на x или y для выделения именно отрезка.