Найти угол при основании равнобедренного треугольника

Задача «найти угол при основании равнобедренного треугольника» – одна из базовых в школьной геометрии (7–9 класс) и регулярно встречается в ОГЭ и ЕГЭ. Решение сводится к одному ключевому свойству: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Зная это и сумму углов треугольника (180°), задача решается за одно–два действия.

Главная формула: угол через вершину

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны – боковые стороны (часто обозначаются b) – и третью сторону – основание (a). Угол между боковыми сторонами называется углом при вершине (α), а два равных угла между основанием и боковой стороной – углами при основании (β).

Из свойства суммы углов:

β = (180° − α) / 2

Пример: угол при вершине равен 50°. Тогда β = (180° − 50°) / 2 = 65°.

Как найти угол при основании по сторонам треугольника?

Если дан угол при вершине, всё просто. Но часто в задачах известны только длины сторон. Здесь понадобится тригонометрия или теорема косинусов.

Через основание и боковую сторону

Проведём высоту h из вершины на основание. Она делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. В каждом из них:

cos β = (a / 2) / b = a / (2b)

Отсюда:

β = arccos(a / (2b))

Пример: основание a = 6, боковая сторона b = 10.

cos β = 6 / (2 · 10) = 0,3 → β = arccos(0,3) ≈ 72,54°

Через теорему косинусов

Теорема косинусов для угла β при основании (напротив угла β лежит боковая сторона b):

cos β = (a² + b² − b²) / (2 · a · b)

Подождите – напротив угла при основании лежит вторая боковая сторона (тоже b). Тогда формула принимает вид:

cos β = (a² + b² − b²) / (2ab) = a / (2b)

Результат совпадает с предыдущей формулой, что логично.

Формула через высоту к основанию

Если известны высота h, проведённая к основанию, и само основание a:

tan β = h / (a / 2) = 2h / a

Откуда:

β = arctan(2h / a)

Пример: высота h = 8, основание a = 12.

tan β = 2 · 8 / 12 = 4/3 ≈ 1,333 → β = arctan(1,333) ≈ 53,13°

Если известны высота и боковая сторона:

sin β = h / b

β = arcsin(h / b)

Нахождение угла через площадь

Площадь равнобедренного треугольника:

S = (1/2) · a · b · sin β

Отсюда:

sin β = 2S / (a · b)

β = arcsin(2S / (a · b))

Пример: площадь S = 30, основание a = 10, боковая сторона b = 8.

sin β = 2 · 30 / (10 · 8) = 0,75 → β = arcsin(0,75) ≈ 48,59°

Сводная таблица формул

Разбор типовых задач

Задача 1. Дан угол при вершине

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите угол при основании.

Решение: β = (180° − 104°) / 2 = 76° / 2 = 38°.

Задача 2. Даны стороны

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, основание – 10 см. Найдите углы треугольника.

Решение:

1. cos β = 10 / (2 · 13) = 10/26 ≈ 0,3846
2. β = arccos(0,3846) ≈ 67,38°
3. Угол при вершине: α = 180° − 2 · 67,38° ≈ 45,24°

Задача 3. Даны высота и основание

Высота, проведённая к основанию, равна 12 см, основание – 10 см.

Решение:

1. tan β = 2 · 12 / 10 = 2,4
2. β = arctan(2,4) ≈ 67,38°

Задача 4. Внешний угол при основании

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите все углы.

Решение:

1. Угол при основании: β = 180° − 140° = 40°
2. Второй угол при основании: тоже 40°
3. Угол при вершине: α = 180° − 2 · 40° = 100°

Задача 5. Периметр и основание

Периметр равнобедренного треугольника – 36 см, основание – 16 см. Найдите угол при основании.

Решение:

1. Боковая сторона: b = (36 − 16) / 2 = 10 см
2. cos β = 16 / (2 · 10) = 0,8
3. β = arccos(0,8) ≈ 36,87°

Частные случаи и ограничения

• β = 60° – треугольник равносторонний (все стороны равны, α тоже 60°).
• β = 45° – угол при вершине 90° (прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза – основание).
• β → 0° – треугольник вырождается в отрезок.
• β → 90° – угол при вершине стремится к 0°, треугольник «сплющивается».

Угол при основании всегда находится в диапазоне (0°; 90°), поскольку два угла больше 90° дают сумму больше 180°.

Связь с другими элементами треугольника

Зная угол при основании, можно вычислить остальные параметры:

• Высота к основанию: h = b · sin β
• Основание через боковую сторону: a = 2b · cos β
• Площадь: S = b² · sin β · cos β = (b² · sin 2β) / 2
• Радиус описанной окружности: R = b / (2 · sin β)
• Радиус вписанной окружности: r = a · tan(α/2) / 2, где α = 180° − 2β

Эти зависимости часто используются в комбинированных задачах ОГЭ и ЕГЭ по математике.