Найти угол при основании равнобедренного треугольника
Задача «найти угол при основании равнобедренного треугольника» – одна из базовых в школьной геометрии (7–9 класс) и регулярно встречается в ОГЭ и ЕГЭ. Решение сводится к одному ключевому свойству: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Зная это и сумму углов треугольника (180°), задача решается за одно–два действия.
Главная формула: угол через вершину
Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны – боковые стороны (часто обозначаются b) – и третью сторону – основание (a). Угол между боковыми сторонами называется углом при вершине (α), а два равных угла между основанием и боковой стороной – углами при основании (β).
Из свойства суммы углов:
β = (180° − α) / 2
| Угол при вершине (α) | Угол при основании (β) |
|---|---|
| 20° | 80° |
| 36° | 72° |
| 60° | 60° (равносторонний) |
| 90° | 45° |
| 120° | 30° |
Пример: угол при вершине равен 50°. Тогда β = (180° − 50°) / 2 = 65°.
Как найти угол при основании по сторонам треугольника?
Если дан угол при вершине, всё просто. Но часто в задачах известны только длины сторон. Здесь понадобится тригонометрия или теорема косинусов.
Через основание и боковую сторону
Проведём высоту h из вершины на основание. Она делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. В каждом из них:
cos β = (a / 2) / b = a / (2b)
Отсюда:
β = arccos(a / (2b))
Пример: основание a = 6, боковая сторона b = 10.
cos β = 6 / (2 · 10) = 0,3 → β = arccos(0,3) ≈ 72,54°
Через теорему косинусов
Теорема косинусов для угла β при основании (напротив угла β лежит боковая сторона b):
cos β = (a² + b² − b²) / (2 · a · b)
Подождите – напротив угла при основании лежит вторая боковая сторона (тоже b). Тогда формула принимает вид:
cos β = (a² + b² − b²) / (2ab) = a / (2b)
Результат совпадает с предыдущей формулой, что логично.
Формула через высоту к основанию
Если известны высота h, проведённая к основанию, и само основание a:
tan β = h / (a / 2) = 2h / a
Откуда:
β = arctan(2h / a)
Пример: высота h = 8, основание a = 12.
tan β = 2 · 8 / 12 = 4/3 ≈ 1,333 → β = arctan(1,333) ≈ 53,13°
Если известны высота и боковая сторона:
sin β = h / b
β = arcsin(h / b)
Нахождение угла через площадь
Площадь равнобедренного треугольника:
S = (1/2) · a · b · sin β
Отсюда:
sin β = 2S / (a · b)
β = arcsin(2S / (a · b))
Пример: площадь S = 30, основание a = 10, боковая сторона b = 8.
sin β = 2 · 30 / (10 · 8) = 0,75 → β = arcsin(0,75) ≈ 48,59°
Сводная таблица формул
| Известные данные | Формула угла при основании β |
|---|---|
| Угол при вершине α | β = (180° − α) / 2 |
| Основание a, боковая сторона b | β = arccos(a / (2b)) |
| Высота h, основание a | β = arctan(2h / a) |
| Высота h, боковая сторона b | β = arcsin(h / b) |
| Площадь S, основание a, боковая b | β = arcsin(2S / (ab)) |
Разбор типовых задач
Задача 1. Дан угол при вершине
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите угол при основании.
Решение: β = (180° − 104°) / 2 = 76° / 2 = 38°.
Задача 2. Даны стороны
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, основание – 10 см. Найдите углы треугольника.
Решение:
- cos β = 10 / (2 · 13) = 10/26 ≈ 0,3846
- β = arccos(0,3846) ≈ 67,38°
- Угол при вершине: α = 180° − 2 · 67,38° ≈ 45,24°
Задача 3. Даны высота и основание
Высота, проведённая к основанию, равна 12 см, основание – 10 см.
Решение:
- tan β = 2 · 12 / 10 = 2,4
- β = arctan(2,4) ≈ 67,38°
Задача 4. Внешний угол при основании
Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите все углы.
Решение:
- Угол при основании: β = 180° − 140° = 40°
- Второй угол при основании: тоже 40°
- Угол при вершине: α = 180° − 2 · 40° = 100°
Задача 5. Периметр и основание
Периметр равнобедренного треугольника – 36 см, основание – 16 см. Найдите угол при основании.
Решение:
- Боковая сторона: b = (36 − 16) / 2 = 10 см
- cos β = 16 / (2 · 10) = 0,8
- β = arccos(0,8) ≈ 36,87°
Частные случаи и ограничения
- β = 60° – треугольник равносторонний (все стороны равны, α тоже 60°).
- β = 45° – угол при вершине 90° (прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза – основание).
- β → 0° – треугольник вырождается в отрезок.
- β → 90° – угол при вершине стремится к 0°, треугольник «сплющивается».
Угол при основании всегда находится в диапазоне (0°; 90°), поскольку два угла больше 90° дают сумму больше 180°.
Связь с другими элементами треугольника
Зная угол при основании, можно вычислить остальные параметры:
- Высота к основанию: h = b · sin β
- Основание через боковую сторону: a = 2b · cos β
- Площадь: S = b² · sin β · cos β = (b² · sin 2β) / 2
- Радиус описанной окружности: R = b / (2 · sin β)
- Радиус вписанной окружности: r = a · tan(α/2) / 2, где α = 180° − 2β
Эти зависимости часто используются в комбинированных задачах ОГЭ и ЕГЭ по математике.