Когда в задаче просят найти угол АВС в градусах, речь идёт об угле при вершине В – точке, которая стоит в середине записи. Лучи ВА и ВС образуют стороны этого угла. Способ расчёта зависит от того, какие данные известны.
Как найти угол АВС по трём сторонам
Самый частый случай – известны длины всех сторон треугольника. Применяется теорема косинусов:
cos(∠АВС) = (AB² + BC² − AC²) / (2 · AB · BC)
Где:
- AB и BC – стороны, прилежащие к углу В
- AC – сторона, противолежащая углу В
После нахождения косинуса результат переводится из радиан в градусы через обратную функцию арккосинуса.
Пример. Стороны треугольника: AB = 5, BC = 7, AC = 8.
- cos(∠АВС) = (25 + 49 − 64) / (2 · 5 · 7) = 10 / 70 ≈ 0,1429
- ∠АВС = arccos(0,1429) ≈ 81,79°
Как вычислить угол АВС по координатам вершин
Если даны координаты точек A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), удобнее использовать скалярное произведение векторов:
- Вектор BA = (x₁ − x₂, y₁ − y₂)
- Вектор BC = (x₃ − x₂, y₃ − y₂)
- Скалярное произведение: BA · BC = (x₁ − x₂)·(x₃ − x₂) + (y₁ − y₂)·(y₃ − y₂)
- Длины векторов: |BA| = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²), |BC| = √((x₃ − x₂)² + (y₃ − y₂)²)
- cos(∠АВС) = (BA · BC) / (|BA| · |BC|)
Пример. A(1, 2), B(0, 0), C(3, 1).
- BA = (1, 2), BC = (3, 1)
- BA · BC = 1·3 + 2·1 = 5
- |BA| = √5 ≈ 2,236, |BC| = √10 ≈ 3,162
- cos(∠АВС) = 5 / (√5 · √10) ≈ 0,7071
- ∠АВС ≈ 45°
Как найти угол АВС по двум другим углам
Сумма углов треугольника равна 180°. Если известны ∠ВАС и ∠ВСА:
∠АВС = 180° − ∠ВАС − ∠ВСА
Это самый быстрый способ, не требующий вычисления косинусов.
Пример. ∠ВАС = 55°, ∠ВСА = 40°.
∠АВС = 180° − 55° − 40° = 85°
Как найти угол по двум сторонам и углу между ними
Если даны стороны AB, BC и угол между ними – он и есть ∠АВС, искать ничего не нужно. Но если даны две стороны и угол, не лежащий между ними, задача может иметь два решения, одно или ни одного. В этом случае применяется теорема синусов:
sin(∠ВАС) / BC = sin(∠ВСА) / AB = sin(∠АВС) / AC
Сначала находится один из неизвестных углов, затем ∠АВС – через сумму углов.
Частые ошибки при расчёте
- Перепутана вершина. Угол АВС – это угол при вершине В, а не А или С. При подстановке в теорему косинусов стороны AB и BC должны быть прилежащими.
- Радианы вместо градусов. Калькуляторы и программы часто возвращают арккосинус в радианах. Проверьте настройки или переведите результат: градусы = радианы × 180 / π.
- Несуществующий треугольник. Если косинус выходит за пределы [−1; 1], треугольник с такими сторонами невозможен. Проверьте исходные данные.
Калькулятор выше автоматически выбирает формулу и переводит результат в градусы – достаточно ввести известные значения.