Обновлено:
Найти угол ABC в окружности
Если в условии написано «найти угол ABC в окружности», первый шаг – определить, где находится точка B. Именно это определяет, какую формулу применять: их четыре, и они дают разные результаты.
Что такое угол ABC в окружности
Угол ABC – угол с вершиной в точке B, образованный лучами BA и BC. В задачах на окружность точки A и C лежат на окружности, а точка B может занимать одно из четырёх положений:
- на окружности – вписанный угол,
- в центре окружности – центральный угол,
- внутри окружности – угол при пересечении хорд,
- вне окружности – угол при двух секущих или секущей и касательной.
Для нахождения угла нужна градусная мера дуги AC – та часть окружности, которую «захватывают» стороны угла. Одна окружность = 360°.
Вписанный угол ABC: теорема и формула
Вписанный угол – наиболее частый случай в задачах. Вершина B лежит на окружности, стороны BA и BC являются хордами.
Теорема о вписанном угле:
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
∠ABC = ½ × ⌢AC
где ⌢AC – градусная мера дуги AC, не содержащей точку B.
Равносильная форма через центральный угол:
∠ABC = ½ × ∠AOC
где O – центр окружности, ∠AOC – центральный угол той же дуги.
Следствия теоремы:
- Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
- Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (дугу 180°), равен 90° – теорема Фалеса.
- Вписанные углы на дополнительных дугах в сумме дают 180°.
Калькулятор вычисляет угол ABC для четырёх конфигураций: вписанный угол, центральный угол, вершина внутри окружности и вершина вне окружности. Нужно выбрать тип задачи и ввести градусные меры соответствующих дуг.
Как найти угол ABC: разбор задач по шагам
Задача 1. Вписанный угол по дуге
Дано: точка B на окружности, ⌢AC = 110°.
- B лежит на окружности → вписанный угол.
- ∠ABC = ½ × 110° = 55°.
Задача 2. Вписанный угол по центральному
Дано: центральный угол ∠AOC = 76°, точка B на большей дуге.
- Вписанный угол = половина центрального на той же дуге.
- ∠ABC = 76° ÷ 2 = 38°.
Задача 3. Два вписанных угла на одной дуге
Дано: ∠ABC = 35°, точки A, B, D, C – на окружности, обе пары углов опираются на дугу AC.
- По следствию теоремы все вписанные углы на одной дуге равны.
- ∠ADC = ∠ABC = 35°.
Задача 4. Пересечение хорд внутри окружности
Дано: хорды AD и CE пересекаются в точке B внутри окружности; ⌢AC = 80°, ⌢DE = 40°.
Формула: ∠ABC = (⌢AC + ⌢DE) ÷ 2
∠ABC = (80° + 40°) ÷ 2 = 60°.
Задача 5. Вершина B вне окружности
Дано: из точки B вне окружности проведены две секущие; большая дуга ⌢AC = 120°, меньшая ⌢A’C’ = 40°.
Формула: ∠ABC = (⌢AC − ⌢A'C') ÷ 2
∠ABC = (120° − 40°) ÷ 2 = 40°.
Теорема Фалеса: когда угол ABC = 90°?
Если AC – диаметр окружности, а точка B лежит на окружности (не совпадая с A или C), то ∠ABC = 90° при любом положении B на окружности.
Через теорему о вписанном угле:
- Диаметр соответствует полуокружности – дуге в 180°.
- ∠ABC = ½ × 180° = 90°.
Обратное утверждение тоже верно: если ∠ABC = 90° и все три точки лежат на одной окружности, то AC – диаметр этой окружности. Это применяют, чтобы найти центр окружности или доказать прямой угол без измерений.
Сводная таблица формул для всех положений B
| Положение точки B | Формула ∠ABC | Что брать |
|---|---|---|
| На окружности (вписанный) | ½ × ⌢AC | одна дуга, без точки B |
| В центре O (центральный) | ⌢AC | та же одна дуга |
| Внутри окружности | (⌢AC + ⌢A'C') ÷ 2 | сумма двух «противоположных» дуг |
| Вне окружности | (⌢AC − ⌢A'C') ÷ 2 | разность большей и меньшей дуги |
⌢A’C’ – дуга, отсекаемая второй парой сторон угла (актуально только для случаев с двумя дугами).
Типичные ошибки при нахождении угла ABC
Неверная дуга. Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, не содержащую точку B. Если взять дополнительную дугу (с точкой B), получится 180° − ∠ABC вместо правильного ответа.
Путаница с центральным углом. Центральный угол AOC равен дуге целиком. Вписанный угол ABC – ровно половине. Не применяйте формулу ½ к центральному углу ещё раз.
Формула вписанного угла для точки вне окружности. Если B не лежит на окружности – ½ × ⌢AC не работает. Сначала определите положение B, затем выбирайте формулу из таблицы выше.
Неверный знак в формуле для внешней точки. При вершине вне окружности берётся разность дуг. Сумма дуг используется только при вершине внутри окружности.
Статья носит образовательный характер; для подготовки к экзаменам сверяйтесь с условиями конкретных задач и актуальными учебниками.
Часто задаваемые вопросы
Чему равен угол ABC, если дуга AC = 80° и точка B лежит на окружности?
По теореме о вписанном угле ∠ABC = ½ × ⌢AC = ½ × 80° = 40°. Вписанный угол всегда вдвое меньше дуги, на которую он опирается.
Как связаны центральный угол AOC и вписанный угол ABC на той же дуге?
∠ABC = ½ × ∠AOC. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. При ∠AOC = 130° получаем ∠ABC = 65°.
Может ли вписанный угол ABC быть тупым?
Да. Если дуга AC, на которую опирается угол, больше 180°, то ∠ABC > 90°. Например, при дуге 220° вписанный угол равен 110°. Он не может достигать 180°.
Чему равна сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника ABCD?
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Каждая пара опирается на дуги, суммарно дающие 360°, поэтому сами углы в паре дают 180°.
Как найти угол ABC, если известны длины хорд AB, BC и AC, а не дуги?
Применяют теорему косинусов: cos(∠ABC) = (AB² + BC² − AC²) / (2 × AB × BC). Это работает для треугольника ABC вне зависимости от окружности.
Как с помощью окружности доказать, что угол ABC прямой?
Достаточно показать, что AC является диаметром описанной окружности треугольника ABC. По теореме Фалеса любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.