Обновлено: 7 мая 2026 г.

Как найти углы треугольника, если известны стороны

Зная три стороны треугольника, можно однозначно определить каждый его угол. Единственный инструмент для этого – теорема косинусов, которая связывает стороны и углы в произвольном треугольнике.

Теорема косинусов: основная формула

Теорема косинусов – обобщённая теорема Пифагора для любого треугольника:

a² = b² + c² − 2bc · cos α

Отсюда угол α, противолежащий стороне a:

cos α = (b² + c² − a²) / (2bc)

Аналогично для двух других углов:

cos β = (a² + c² − b²) / (2ac)
cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab)

Каждый угол вычисляется отдельно через арккосинус:

α = arccos((b² + c² − a²) / (2bc))

Как найти углы треугольника по сторонам: пошагово

Проверьте существование треугольника. Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
Вычислите косинус первого угла по формуле cos α = (b² + c² − a²) / (2bc).
Найдите угол через арккосинус: α = arccos(cos α). Результат будет в радианах – переведите в градусы умножением на 180/π.
Повторите для двух остальных углов, подставляя соответствующие стороны.
Проверьте сумму: α + β + γ = 180°. Небольшое отклонение (до 0,02°) – следствие округления.

Пример расчёта

Дан треугольник со сторонами a = 5, b = 7, c = 8.

Проверка: 5 + 7 > 8 ✓, 5 + 8 > 7 ✓, 7 + 8 > 5 ✓ – треугольник существует.

Угол α (против стороны a = 5):

cos α = (7² + 8² − 5²) / (2 · 7 · 8) = (49 + 64 − 25) / 112 = 88 / 112 ≈ 0,7857
α = arccos(0,7857) ≈ 38,21°

Угол β (против стороны b = 7):

cos β = (5² + 8² − 7²) / (2 · 5 · 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40 / 80 = 0,5
β = arccos(0,5) = 60°

Угол γ (против стороны c = 8):

cos γ = (5² + 7² − 8²) / (2 · 5 · 7) = (25 + 49 − 64) / 70 = 10 / 70 ≈ 0,1429
γ = arccos(0,1429) ≈ 81,79°

Проверка: 38,21 + 60 + 81,79 = 180° ✓

Частные случаи

Стороны	Тип треугольника	Углы
Все равны	Равносторонний	Все по 60°
Две равны	Равнобедренный	Два угла при основании равны
a² + b² = c²	Прямоугольный	Один угол 90°
a² + b² < c²	Тупоугольный	Угол против наибольшей стороны > 90°

Частые ошибки

Путаница, какой угол против какой стороны. Угол α всегда против стороны a, β – против b, γ – против c. Нарушение соответствия даёт неверный результат.
Калькулятор в радианах. Если арккосинус вычислен в радианах, перевод в градусы: умножьте на 180 и разделите на π (≈ 3,1416).
Нарушение неравенства треугольника. При сторонах 2, 3, 10 треугольник не существует, но формально косинус выйдет за пределы [−1; 1] – это признак ошибки в данных.

Калькулятор выше автоматически проверяет существование треугольника и выдаёт все три угла в градусах с контролем суммы.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти углы треугольника, если известна только одна или две стороны?

Нет, для однозначного определения всех трёх углов нужны три стороны. По двум сторонам и углу между ними задача тоже решается, но без хотя бы одного угла двух сторон недостаточно.

Как проверить, что треугольник с заданными сторонами существует?

Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Если это условие не выполняется хотя бы для одной пары – треугольник не существует и углы найти нельзя.

Почему сумма вычисленных углов не всегда равна ровно 180°?

При округлении каждого угла накапливается погрешность. Это нормально для приближённых вычислений. Сумма может отличаться на 0,01–0,02°.

Можно ли использовать теорему синусов вместо косинусов?

Теорема синусов требует знания хотя бы одного угла. Если известны только стороны – теорема косинусов единственный прямой способ.

Что делать, если косинус получился больше 1 или меньше −1?

Такое значение означает ошибку в данных: треугольник с такими сторонами не существует. Проверьте неравенство треугольника и правильность ввода.

Как найти углы равностороннего треугольника?

Если все три стороны равны, все углы равны 60°. Вычислять через теорему косинусов не нужно – это свойство равностороннего треугольника.