Обновлено: 7 мая 2026 г.

Найти углы данного параллелограмма

Основные свойства углов параллелограмма

В параллелограмме углы связаны простыми правилами. Противоположные углы равны: если один угол α, то противоположный ему тоже α. Смежные углы (соседние) в сумме дают ровно 180°. Это означает, что если вы знаете один угол параллелограмма, можно сразу вычислить все остальные без дополнительных данных.

Например, если нижний левый угол параллелограмма равен 60°, то:

верхний правый угол = 60° (противоположный)
нижний правый и верхний левый углы = 180° − 60° = 120° каждый

Когда и как искать углы

Если дан один угол – задача решена через свойства выше. Но часто нужно найти угол по другим параметрам параллелограмма. Вот типичные сценарии.

Угол по сторонам и диагонали

Это самый частый вариант в задачах. Дано:

две смежные стороны: a и b
диагональ между их общей вершиной и противоположной вершиной: d

Применяем теорему косинусов:

$$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$

где α – угол между сторонами a и b.

Выразим косинус:

$$\cos(\alpha) = \frac{a^2 + b^2 - d^2}{2ab}$$$$\alpha = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - d^2}{2ab}\right)$$

Смежный угол: β = 180° − α.

Калькулятор углов параллелограмма

Визуализация параллелограмма с подписанными углами

Формула расчёта

По теореме косинусов: d² = a² + b² − 2ab·cos(α)

Выражаем косинус: cos(α) = (a² + b² − d²) / (2ab)

Угол α = arccos(cos(α)), смежный β = 180° − α

Противоположные углы равны: α, β, α, β. Сумма углов: 360°.

Проверка согласованности (если даны обе диагонали): d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Пример расчёта

Параллелограмм с сторонами 5 см и 8 см, диагональ 7 см.

$$\cos(\alpha) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = 0{,}5$$$$\alpha = \arccos(0{,}5) = 60°$$

Смежные углы = 180° − 60° = 120°.

Итого углы параллелограмма: 60°, 120°, 60°, 120°.

Угол по двум диагоналям и стороне

Дано:

две диагонали: d₁ и d₂
одна сторона: a

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Получается четыре треугольника. Применяем теорему косинусов к треугольнику, составленному из половин диагоналей и стороны:

$$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\gamma)$$

где γ – угол между диагоналями в их пересечении.

Упрощаем:

$$a^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$$$$\cos(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2d_1 d_2}$$

Угол между сторонами параллелограмма α связан с углом γ между диагоналями соотношением:

$$\alpha = \frac{180° - \gamma}{2} \text{ или } \alpha = \frac{\gamma}{2}$$

в зависимости от конфигурации.

Проверка через вторую диагональ

В параллелограмме две диагонали. Если вам даны стороны a, b и обе диагонали d₁ и d₂, можно проверить результат. Для параллелограмма верна формула:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$

Если эта формула выполнена – данные согласованы.

Частые ошибки

Забывают, что нужна диагональ, а не просто расстояние – диагональ соединяет вершины, не лежащие на одной стороне
Путают угол между сторонами с углом между диагоналями – это разные углы
Применяют теорему Пифагора вместо теоремы косинусов – Пифагор работает только для прямоугольного параллелограмма (прямоугольника)

Когда невозможно найти углы

Даны только две стороны без диагоналей или других углов – параллелограмм не определён однозначно
Даны две диагонали без сторон – угол между диагоналями найти можно, но не угол между сторонами
Дана только высота и стороны – недостаточно информации

Статья использует стандартные геометрические формулы. При решении конкретной задачи уточняйте условие и убедитесь, что даны все необходимые параметры.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна сумма углов параллелограмма?

Сумма всех четырёх углов параллелограмма всегда равна 360°, как у любого четырёхугольника. Противоположные углы равны между собой, а смежные углы в сумме дают 180°.

Как найти остальные углы, если известен один?

Достаточно знать один угол. Его противоположный угол ему равен, а два смежных угла рассчитываются как 180° минус известный угол.

Можно ли найти углы только по сторонам?

Нет, по одним только длинам сторон углы однозначно не определяются. Нужна дополнительная информация: диагональ, высота, второй угол или ещё один линейный параметр.

Как найти угол параллелограмма по двум диагоналям?

По двум диагоналям одного угла недостаточно. Нужна ещё длина хотя бы одной стороны, тогда применяют обобщённую теорему косинусов.