Обновлено: 10 мая 2026 г.

Найти сумму геометрической прогрессии

Когда нужно найти сумму геометрической прогрессии, достаточно знать первый член, знаменатель и количество членов. Ниже – формулы для обоих случаев: конечной и бесконечной последовательности, а также калькулятор для быстрого расчёта.

Формула суммы геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель прогрессии): b₁, b₁q, b₁q², …, b₁qⁿ⁻¹.

Сумма первых n членов при q ≠ 1:

Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)

Вариант той же формулы, раскрытый через разность степеней:

Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)

Если q = 1, все члены равны b₁, и сумма вычисляется просто:

Sₙ = n · b₁

Как найти сумму геометрической прогрессии: пошагово

Определите b₁ – первый член прогрессии.
Найдите q – знаменатель (разделив любой член на предыдущий).
Установите n – количество складываемых членов.
Подставьте значения в формулу Sₙ = b₁(1 − qⁿ) / (1 − q).

Пример расчёта

Дана прогрессия: 3, 6, 12, 24, 48. Найти сумму пяти членов.

b₁ = 3
q = 6 / 3 = 2
n = 5

S₅ = 3 · (1 − 2⁵) / (1 − 2) = 3 · (1 − 32) / (−1) = 3 · (−31) / (−1) = 93

Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Расчёт верен.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Если |q| < 1, прогрессия называется бесконечно убывающей. При росте n значение qⁿ приближается к нулю, и сумма стремится к пределу:

S = b₁ / (1 − q)

Пример

Прогрессия: 16, 8, 4, 2, 1, … (q = 0,5).

S = 16 / (1 − 0,5) = 16 / 0,5 = 32

Сумма бесконечного числа членов равна 32, хотя отдельные слагаемые продолжают уменьшаться до бесконечности.

Частые ошибки при расчёте

Деление на ноль – формула Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) не работает при q = 1. В этом случае используйте Sₙ = n · b₁.
Путаница между qⁿ и qⁿ⁻¹ – в формуле суммы используется qⁿ, а не qⁿ⁻¹ (последнее встречается в формуле n-го члена).
Отрицательный знаменатель – при q < 0 знаки членов чередуются, но формула остаётся той же. Главное – правильно возвести q в степень с учётом знака.
Применение формулы бесконечной суммы к возрастающей прогрессии – при |q| ≥ 1 бесконечная сумма не существует (расходится).

Материал носит справочный характер. Для проверки учебных задач сверяйтесь с методическими указаниями.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается сумма конечной и бесконечной геометрической прогрессии?

Для конечной прогрессии используется формула Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q), где n – количество членов. Для бесконечно убывающей (|q| < 1) сумма равна S = b₁/(1 − q), поскольку qⁿ стремится к нулю.

Чему равна сумма, если знаменатель прогрессии равен 1?

При q = 1 все члены прогрессии одинаковы и равны b₁. Сумма n членов в этом случае равна Sₙ = n · b₁. Основная формула при q = 1 не работает из-за деления на ноль.

Как найти сумму, если известны первый и последний член?

Если известны b₁ и bₙ, сумму можно вычислить по формуле Sₙ = b₁ − bₙ · q / (1 − q). Она выводится из основной формулы заменой b₁qⁿ⁻¹ на bₙ.

При каком условии бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму?

Бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму только при |q| < 1, то есть когда знаменатель по модулю меньше единицы. В этом случае прогрессия называется бесконечно убывающей.

Результат