Обновлено: 6 мая 2026 г.

Сумма арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, где каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью $d$. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии из нескольких десятков или сотен членов, гораздо быстрее использовать готовую формулу, чем складывать числа вручную.

Формулы суммы арифметической прогрессии

Существуют два основных варианта расчёта в зависимости от набора известных данных.

Когда известны первый член $a_1$, последний член $a_n$ и их количество $n$:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Когда известны первый член $a_1$, разность $d$ и количество $n$:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

или в равносильной форме:

$$S_n = n \cdot a_1 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot d$$

Обе формулы дают одинаковый результат. Первая удобна, если заранее вычислен последний член $a_n$. Вторая подходит, когда известна только разность $d$.

Онлайн-калькулятор суммы прогрессии

Для быстрого расчёта без ручной подстановки в формулу можно использовать калькулятор ниже. Введите первый член, разность (или сразу последний член) и количество элементов – инструмент выведет сумму и промежуточные значения.

Калькулятор суммы

Режим расчёта

По разности ($d$) По последнему члену ($a_n$)

Входные данные

Первый член ($a_1$) Начальное число последовательности Количество членов ($n$) Сколько чисел сложить (целое ≥ 1) Разность ($d$) Шаг между числами (может быть отриц.)

Результат расчёта

Сумма прогрессии: 0

Последний член ($a_n$): 0
Среднее арифм.: 0
Формула: S_n

Примеры решения задач

Пример 1: через первый и последний член

Дана прогрессия: $5, 9, 13, 17, 21$.
$a_1 = 5$, $a_n = 21$, $n = 5$.

$$S_5 = \frac{(5 + 21) \cdot 5}{2} = \frac{26 \cdot 5}{2} = 65$$

Пример 2: через разность

Найти сумму первых $10$ членов, если $a_1 = 4$, а $d = 3$.

$$S_{10} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 27}{2} \cdot 10 = \frac{35}{2} \cdot 10 = 175$$

Проверка вручную: $4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 = 175$.

Пример 3: убывающая прогрессия

$a_1 = 20$, $d = -4$, $n = 6$.

$$S_6 = 6 \cdot 20 + \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot (-4) = 120 - 60 = 60$$

Как найти сумму, не зная последний член?

Если значение $a_n$ не дано, сначала вычислите его по формуле $n$-го члена:

$$a_n = a_1 + d(n-1)$$

После этого подставьте результат в первую формулу суммы или используйте сразу вторую формулу, где $a_n$ не требуется. Например, при $a_1 = 7$, $d = 5$ и $n = 4$:

$a_4 = 7 + 5 \cdot 3 = 22$
$S_4 = \frac{(7 + 22) \cdot 4}{2} = 58$

Типичные ошибки при расчёте

Путаница между номером члена $n$ и значением члена $a_n$. В формулу суммы всегда подставляется именно значение.
Использование $n-1$ вместо $n$ при подсчёте количества членов. Например, от 1-го до 5-го члена – это 5 членов, а не 4.
Забытый знак минус при отрицательной разности $d$. В убывающей прогрессии $d < 0$, и его нужно учитывать в выражении.

Ограничения: бесконечная прогрессия

Формулы выше применимы только к конечной последовательности. Если количество членов неограниченно ($n \to \infty$) и $d \neq 0$, сумма арифметической прогрессии не существует – она стремится к $+\infty$ или $-\infty$. Это принципиально отличает арифметическую прогрессию от геометрической, где при $|q| < 1$ сумма бесконечной прогрессии конечна.

Часто задаваемые вопросы

Что такое арифметическая прогрессия простыми словами?

Это числовая последовательность, в которой каждый следующий член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом – разностью d. Например: 3, 7, 11, 15, где d = 4.

Как найти сумму, если известны только первый член и разность?

Подставьте значения в формулу S_n = n·a_1 + [n·(n–1)/2]·d. Достаточно знать три параметра: первый член a_1, разность d и количество членов n.

Можно ли найти сумму бесконечной арифметической прогрессии?

Нет. Если d ≠ 0, члены прогрессии неограниченно растут или убывают, поэтому сумма стремится к бесконечности. Формулы работают только для конечного числа членов.

Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

В арифметической прогрессии члены изменяются через сложение (с шагом d), а в геометрической – через умножение (со знаменателем q).

Сколько членов минимально нужно для расчёта суммы?

Минимум два. При n = 2 сумма равна просто a_1 + a_2. Формулы актуальны при n ≥ 2, хотя при n = 1 сумма равна самому первому члену.

Почему формула суммы похожа на формулу площади трапеции?

Это не случайность. Если изобразить члены прогрессии в виде столбцов, их «фигура» напоминает трапецию, а среднее арифметическое первого и последнего членов работает как средняя линия.