Как найти сторону треугольника АВ

Зачем нужно уметь находить сторону треугольника

В геометрии задача нахождения стороны треугольника – одна из самых распространённых. Сторона АВ может быть любой из трёх сторон, и метод её вычисления зависит от того, какие данные известны. Формулы отличаются для прямоугольного и произвольного треугольников.

Ниже разберём все основные случаи с формулами и примерами.

Теорема Пифагора: прямоугольный треугольник

Если треугольник ABC – прямоугольный, и угол C равен 90°, то сторона АВ – гипотенуза. Для нахождения гипотенузы используйте:

АВ² = АС² + ВС²

АВ = √(АС² + ВС²)

Если же АВ – один из катетов, а гипотенуза известна:

АВ = √(АС² − ВС²) – при условии, что АС > ВС

Пример

Дано: АС = 5, ВС = 3, угол C = 90°.

Решение: АВ = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5,83

Нахождение стороны через координаты точек

Когда известны координаты точек A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), длина стороны АВ находится по формуле расстояния между двумя точками:

АВ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Пример

Дано: A(2, 4), B(6, 1).

Решение: АВ = √((6 − 2)² + (1 − 4)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Теорема косинусов: две стороны и угол

Когда известны две стороны треугольника и угол между ними, применяйте теорему косинусов. Пусть известны стороны АС, ВС и угол C:

АВ² = АС² + ВС² − 2 · АС · ВС · cos(C)

АВ = √(АС² + ВС² − 2 · АС · ВС · cos(C))

Пример

Дано: АС = 7, ВС = 4, угол C = 60°.

Решение: cos(60°) = 0,5

АВ² = 7² + 4² − 2 · 7 · 4 · 0,5 = 49 + 16 − 28 = 37

АВ = √37 ≈ 6,08

Теорема синусов: два угла и сторона

Если известны два угла и одна сторона, используйте теорему синусов. Пусть даны сторона АС и углы A, C:

АВ / sin(C) = АС / sin(B) = BC / sin(A)

Отсюда:

АВ = (sin(C) · АС) / sin(B)

Пример

Дано: АС = 10, угол A = 40°, угол C = 70°.

Найдём угол B: 180° − 40° − 70° = 70°

АВ = (sin(70°) · 10) / sin(70°) = 10

Через площадь и высоту

Если известны площадь треугольника S и высота h, проведённая к стороне АВ:

АВ = 2S / h

Пример

Дано: площадь S = 24, высота к стороне АВ равна 6.

Решение: АВ = 2 · 24 / 6 = 48 / 6 = 8

Тригонометрические функции: прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике сторону можно найти через тригонометрические отношения:

• АВ = АС / cos(∠A) – если АВ – гипотенуза
• АВ = АС · tg(∠A) – если АВ и АС – катеты

Пример

Дано: катет АС = 8, угол A = 30°.

Решение: АВ = 8 / cos(30°) = 8 / 0,866 ≈ 9,24

Как выбрать нужную формулу

Для точного расчёта убедитесь, что углы измерены в градусах, а тригонометрические функции используют правильный режим (degree/radian) в калькуляторе.