Сторона равностороннего вписанного треугольника

Чтобы найти сторону равностороннего вписанного треугольника, достаточно знать радиус описанной окружности. Искомая величина вычисляется за одно действие:

$$a = R\sqrt{3}$$

Здесь $a$ – сторона треугольника, $R$ – радиус окружности. Если исходные данные содержат диаметр $D$, подставьте $R = D / 2$: получится $a = D \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона равностороннего вписанного треугольника: пример расчёта

Допустим, радиус описанной окружности $R = 10$ см. Тогда:

$$a = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 10 \cdot 1{,}732 = 17{,}32 \text{ см}$$

Периметр такого треугольника составит $3a \approx 51{,}96$ см, а площадь:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 300 \approx 129{,}9 \text{ см}^2$$

Как получить формулу a = R√3?

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Соединим центр $O$ с вершинами $A$ и $B$ – получим равнобедренный треугольник $AOB$ с боковыми сторонами $R$.

Центральный угол $\angle AOB = 360^\circ / 3 = 120^\circ$, так как окружность разбита на три равные дуги. Опустим из центра перпендикуляр на сторону $AB$: он разделит угол пополам и основание пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике с острым углом $60^\circ$:

$$\frac{a}{2} = R \cdot \sin 60^\circ = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Умножив обе части на 2, приходим к $a = R\sqrt{3}$.

Обратная задача: как найти радиус по стороне?

Если известна сторона $a$, радиус описанной окружности находится так:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 \cdot a$$

Эта величина равна двум третям высоты треугольника: $R = \frac{2}{3}h$.

Связь с радиусом вписанной окружности

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности $r$ всегда в два раза меньше радиуса описанной:

$$r = \frac{R}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Высота треугольника выражается через $R$ просто:

$$h = \frac{3R}{2} = 1{,}5R$$

Центр окружности делит высоту в отношении $2:1$, считая от вершины к основанию.