Сторона равностороннего вписанного треугольника

Чтобы найти сторону равностороннего вписанного треугольника, достаточно знать радиус описанной окружности. Искомая величина вычисляется за одно действие:

$$a = R\sqrt{3}$$

Здесь $a$ – сторона треугольника, $R$ – радиус окружности. Если исходные данные содержат диаметр $D$, подставьте $R = D / 2$: получится $a = D \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона равностороннего вписанного треугольника: пример расчёта

Допустим, радиус описанной окружности $R = 10$ см. Тогда:

$$a = 10 \cdot \sqrt{3} \approx 10 \cdot 1{,}732 = 17{,}32 \text{ см}$$

Периметр такого треугольника составит $3a \approx 51{,}96$ см, а площадь:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 300 \approx 129{,}9 \text{ см}^2$$

Как получить формулу a = R√3?

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Соединим центр $O$ с вершинами $A$ и $B$ – получим равнобедренный треугольник $AOB$ с боковыми сторонами $R$.

Центральный угол $\angle AOB = 360^\circ / 3 = 120^\circ$, так как окружность разбита на три равные дуги. Опустим из центра перпендикуляр на сторону $AB$: он разделит угол пополам и основание пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике с острым углом $60^\circ$:

$$\frac{a}{2} = R \cdot \sin 60^\circ = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Умножив обе части на 2, приходим к $a = R\sqrt{3}$.

Обратная задача: как найти радиус по стороне?

Если известна сторона $a$, радиус описанной окружности находится так:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 \cdot a$$

Эта величина равна двум третям высоты треугольника: $R = \frac{2}{3}h$.

Связь с радиусом вписанной окружности

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности $r$ всегда в два раза меньше радиуса описанной:

$$r = \frac{R}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Высота треугольника выражается через $R$ просто:

$$h = \frac{3R}{2} = 1{,}5R$$

Центр окружности делит высоту в отношении $2:1$, считая от вершины к основанию.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли вписать равносторонний треугольник в окружность любого радиуса?

Да. Для любого положительного R существует единственный с точностью до поворота равносторонний треугольник. Его сторона находится по формуле a = R√3.

Как найти радиус вписанной окружности, если известна сторона?

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности r = a / (2√3), что ровно в два раза меньше радиуса описанной окружности: r = R / 2.

Чему равна площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности?

Подставляя a = R√3 в классическую формулу S = (3√3 / 4) · a², получаем S = (3√3 / 4) · R².

Какой центральный угол соответствует стороне равностороннего треугольника?

Центральный угол между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, равен 120°, так как окружность делится на три равные дуги по 360° / 3.

Как связаны высота треугольника и радиус описанной окружности?

Высота равностороннего треугольника h = 3R / 2 = 1,5R. Центр окружности делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины.

Как найти периметр равностороннего треугольника, зная радиус описанной окружности?

Периметр P = 3a. Поскольку a = R√3, то P = 3R√3. Например, при R = 6 периметр равен 18√3 ≈ 31,18.