Расстояние от точки до прямой

8 мая 2026 г.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. На плоскости, если прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$, а точка имеет координаты $M(x_0; y_0)$, искомое расстояние $d$ находят по формуле:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Числитель содержит модуль, поэтому результат всегда неотрицателен. Он равен нулю только в случае, когда точка лежит на прямой.

Почему расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру?

Из одной точки к прямой можно провести бесконечно много отрезков. Перпендикуляр – единственный из них, который образует прямой угол с прямой. По свойствам прямоугольного треугольника катет всегда короче гипотенузы, поэтому перпендикуляр оказывается кратчайшим отрезком. Именно поэтому в геометрии под расстоянием понимают длину только этого перпендикуляра.

Формула через коэффициенты уравнения прямой

Если прямая задана в общем виде $Ax + By + C = 0$, коэффициенты $A$ и $B$ одновременно не равны нулю. Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2}$ – это длина нормального вектора прямой $(A; B)$. Формула показывает, насколько далеко точка смещена от прямой вдоль этого нормального направления.

Приведение к общему виду – обязательный шаг. Если прямая дана, например, как $y = kx + b$, перенесите все члены в левую часть: $kx - y + b = 0$. Здесь $A = k$, $B = -1$, $C = b$.

Как найти расстояние от точки до прямой через две точки?

Когда уравнение прямой неизвестно, но даны координаты двух её точек $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, а также внешняя точка $M(x_0; y_0)$, удобно использовать связь с площадью треугольника:

$$d = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABM}}{|AB|}$$

Площадь треугольника выражается через определитель:

$$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \left| (x_1 - x_0)(y_2 - y_0) - (x_2 - x_0)(y_1 - y_0) \right|$$

Длина основания $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

После подстановки и сокращения получается рабочая формула:

$$d = \frac{\left| (x_1 - x_0)(y_2 - y_0) - (x_2 - x_0)(y_1 - y_0) \right|}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$$

Этот же результат следует из модуля векторного произведения $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$.

Способ задания прямой

По уравнению (Ax+By+C=0) По двум точкам

Выберите вариант, соответствующий вашей задаче. Координаты точки принимаются для любых вариантов.

Параметры прямой и точки

Коэффициент уравнения A Коэффициент уравнения B Свободный член C

Уравнение прямой: 3x + 4y - 7 = 0

ТОЧКА

Координата X точки Координата Y точки

Калькулятор выше позволяет вычислить расстояние двумя способами: по уравнению прямой и по координатам двух точек, через которые она проходит.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

В трёхмерном пространстве прямую чаще задают параметрически или двумя точками. Если известны точки $A$ и $B$ прямой и внешняя точка $M$, расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$:

$$d = \frac{\left| [\vec{AB}, \vec{AM}] \right|}{\left| \vec{AB} \right|}$$

Здесь $[\vec{AB}, \vec{AM}]$ – векторное произведение. В координатах, если $\vec{AB} = \{X; Y; Z\}$ и $\vec{AM} = \{X_1; Y_1; Z_1\}$, модуль произведения равен:

$$\sqrt{(YZ_1 - ZY_1)^2 + (ZX_1 - XZ_1)^2 + (XY_1 - YX_1)^2}$$

Пример: расчёт по уравнению прямой

Даны: точка $M(1; 2)$ и прямая $3x + 4y - 7 = 0$.

Определим коэффициенты: $A = 3$, $B = 4$, $C = -7$.

Подставим в формулу:

$$d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 7|}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$

Ответ: $0{,}8$.

Пример: расчёт через две точки прямой

Даны: $A(0; 0)$, $B(4; 3)$ – точки прямой, $M(0; 5)$ – внешняя точка.

Найдём вектор $\vec{AB} = \{4; 3\}$. Его длина:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Вектор $\vec{AM} = \{0; -5\}$.

Определитель (модуль векторного произведения на плоскости):

$$|4 \cdot (-5) - 3 \cdot 0| = 20$$

Расстояние:

$$d = \frac{20}{5} = 4$$

Ответ: $4$.

Краткий итог

На плоскости с известным уравнением прямой используйте формулу $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
По двум точкам прямой считайте через определитель или площадь треугольника.
В пространстве применяйте векторное произведение.
Результат всегда равен длине перпендикуляра и показывает кратчайший путь от точки до прямой.

Часто задаваемые вопросы

Чем расстояние от точки до прямой отличается от длины произвольного отрезка?

Расстояние – это всегда длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Оно кратчайшее среди всех возможных отрезков. Любой другой отрезок от точки до прямой будет длиннее.

Как найти расстояние, если известны только координаты двух точек прямой?

Составьте уравнение прямой по двум точкам, либо используйте формулу через площадь треугольника. Векторный метод через определитель даст результат без промежуточных уравнений.

Работает ли формула |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²) в трёхмерном пространстве?

Нет, эта формула применима только на плоскости. В пространстве прямую задают параметрически или через две точки, а расстояние ищут через векторное произведение.

Может ли расстояние быть равно нулю?

Да. Нулевое значение означает, что точка принадлежит прямой. В формуле это проявляется как обращение числителя в ноль: Ax₀+By₀+C=0.

Как связаны расстояние и проекция точки на прямую?

Расстояние равно длине отрезка от исходной точки до её проекции. Проекция – это основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.